Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Вся математика получила в руках интуиционистов иной вид. Например, в их анализе нет разрывных функций, а в их арифметике из равенства нулю произведения еще не следует обращение в нуль хотя бы одного из множителей. Вообще, почти каждое утверждение классической математики приходилось заменять весьма непривычно звучащим интуиционистским аналогом, а от многого надо было отказаться. "Я не считаю неприкосновенными все теоремы из обычных учебников",- заявил интуиционист Сколем.

Призыв к столь коренным преобразованиям нашел признание лишь у небольшой (хотя и весьма влиятельной) группы ученых. Яростным противником брауэровских реформ был Гильберт. Он говорил: "То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт то, что вызывает беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших ценных сокровищ".

Гильберт гневно утверждал, что отнять у математиков закон исключенного третьего все равно, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Он писал, что запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки, а жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом результаты, которые были выработаны интуиционистами, не могут идти ни в какое сравнение с могуществом современной математики. Горько сетовал Гильберт на то, что в среде математиков смогла иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека.

Не оставались в долгу и интуиционисты, утверждая, что программа спасения математики, предложенная Гильбертом, ведет к тому, что из науки изгоняется смысл. Однако большинство математиков примкнуло в данном вопросе к точке зрения Гильберта, полагая, что само существование математики и обширность ее приложений в течение многих столетий свидетельствуют о том, что она не столь уж нелепа и бессодержательна, и для того, чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу.

Несмотря на то что большинство математиков отвергало идеи интуиционистов, те были уверены в своей грядущей победе. В 1918 г. Германн Вейль предложил своему другу известному венгерскому математику Дьердю Пойа [113] Пойа Дьердь (р. 1887) — венгерский математик, автор работ по функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике. пари, что через 20 лет идеи интуиционизма восторжествуют. В качестве критерия он указал две теоремы классического анализа, которые можно найти в любом учебнике высшей математики, но которые не имеют смысла в математике интуиционистов. По его мнению, через двадцать лет эти теоремы должны были исчезнуть из общепризнанной математики. Однако по истечении этого срока Вейль признал, что пари проиграно (хотя и уговорил Пойя не публиковать соответствующего заявления, что предусматривалось условиями пари).

Следует отметить, что за последние десятилетия интерес к интуиционизму снова возрастает, причем многие выдающиеся логики явно или неявно примыкают к этому течению математической мысли.

Мы закончили наше путешествие по извилистым путям, которые прошла человеческая мысль, пытаясь овладеть противоречивейшим понятием бесконечности, "приручить" его и использовать для познания действительности. От древнейших мифов через первые научные искания Фа-леса и Пифагора, Зенона и Аристотеля человечество пришло к столь впечатляющим достижениям, как современные космологические теории, сложнейшие построения математического анализа, теория бесконечномерных пространств.

В некоторых из этих творений человеческого разума уже почти не чувствуется сложность заложенных в них концепций. Выполняя в ходе технических расчетов привычные операции дифференцирования и интегрирования функций, инженер не задумывается над тем, что когда-то эти операции казались почти непостижимыми. Как писал Ф. Энгельс, "когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого,-тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического... ушло в прошлое; наступила эра разногласий..." [114] Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 20, с. 88-89. . Теперь эти слова кажутся почти пророческим предсказанием того состояния, в котором находятся современные исследования по глубинным проблемам теории бесконечных множеств.

Вероятно, в процессе чтения книги читатель неоднократно задавал себе вопрос, каково же практическое значение описанных в ней исканий, могут ли применяться на практике мощности бесконечных множеств, трансфинитные числа, необычайные функции и линии из математической кунсткамеры и т. д. Этот вопрос является одним из сложнейших в большинстве научных исследований. Недаром Майкл Фарадей на вопрос какого-то лорда, что дадут для практики исследования по электромагнетизму, ответил: "А что можно сказать о будущности новорожденного ребенка?" Обвинениям в отрыве от практики подвергались в свое время исследования по генетике, теории относительности, квантовой физике и т. д. Многим казались беспочвенными мечтания К. Э. Циолковского о межпланетных путешествиях.

При решении вопроса о практической значимости теоретико-множественных исследований надо иметь в виду, что теория множеств имеет три существенно различных аспекта: изучение операций над множествами, мощностей бесконечных множеств и теоретико-множественный подход к математике в целом. Первый из них уходит корнями в глубокую древность, поскольку уже силлогизмы Аристотеля выражают по сути дела определенные отношения между множествами и операции над ними. Теоретико-множественные операции необходимы, например, для того, чтобы ЭВМ могли выполнять работу по сбору и переработке информации, и потому они предусматриваются в алгоритмических языках. Мы уже не говорим о том, что эти операции широко используются в современной математической литературе — безнадежной была бы попытка переписать без символов включения, объединения и пересечения множеств многие классические сочинения по математике XX в.

Сложнее обстоит дело с практической значимостью теории бесконечных множеств. Ее роль более опосредована и состоит скорее в том, что теоретико-множественные понятия лежат в основе многих часто используемых математических теорем. Примерами могут слуячить теорема о неподвижной точке, лежащая в основе многих вычислительных процессов, теорема о компактности произведения компактных пространств и т. д. Одно из важнейших понятий современной математики — бесконечномерное гильбертово пространство — возникло в результате исследований Гильберта в области теории систем уравнений с бесконечным множеством неизвестных. При этом важнейшая модель таких пространств состоит из разрывных функций, интегрировать которые возможно лишь с помощью интеграла Лебега. В гильбертовом же пространстве лежит одно из самых удивительных образований — спираль Винера, направления которой в любых двух ее точках перпендикулярны друг другу. Несмотря на свою причудливость, эта спираль является геометрическим образом важного для приложений понятия теории вероятностей — случайных процессов с независимыми приращениями.