Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Однако непротиворечивость классической математики — вещь далеко не очевидная. Хотя большинство математиков верит в истинность этой идеи, доказать ее не удалось никому. Тем не менее математики знают, что математика не может быть лишь немножко противоречивой. Сотни лет назад было доказано, что если бы в классической математике было одно-единственное противоречие, то для любого утверждения, которое может быть доказано, могло бы быть доказано и обратное утверждение. Таким образом, математика может быть либо абсолютно непротиворечивой, либо полной противоречий. Этого соображения математикам вполне достаточно, чтобы верить в ее непротиворечивость. Гёдель шокировал их и в этом отношении, потому что из его теоремы следует, что доказать непротиворечивость любой достаточно сложной системы математики внутри самой этой системы невозможно. Непротиворечивость всегда будет оставаться в некотором роде вопросом веры.

С учетом этого идея Абрахама Робинсона кажется абсурдной. В самом деле, он решил построить математическую систему, содержащую заведомо ложную аксиому. Как если бы я каким-то образом оказался не только мужчиной — а я мужчина, — но также и женщиной. Разумеется, в реальности такое невозможно (если не учитывать в этом примере гермафродитизма и бигендерности). Я не женщина, и на свете не существует никого, кто был бы мною и женщиной. Но в математике такие парадоксы возможны. Если классическая математика непротиворечива, то непротиворечивой должна быть и новая система, так как Робинсон получил ее добавлением независимой аксиомы. С математической точки зрения эта новая система будет такой же чистой и упорядоченной, как и старая. Поэтому в исследовании новой системы и рассмотрении теорем, которые можно из нее вывести, нет ничего дурного.

Оказывается, что при работе в новой системе придется переосмыслить сущность номеров доказательств в смысле гёделевской нумерации. Добавление опровержения G требует добавления некоего «обобщенного» натурального числа. Хофштадтер называет его «супернатуральным числом» [36] В математике есть супернатуральные числа, или числа Штайница, которые не имеют отношения к тем, что упоминаются здесь. «Супернатуральные числа» Хофштадтера — это гиперцелые числа, подкласс гипервещественных (они же гипердействительные), о которых и идет речь в главе. — Прим. ред. , потому что в нем есть нечто почти чудесное. Чтобы дать этому супернатуральному числу имя, обозначим его буквой I , так как число это — плод нашего воображения, или, если обратиться к латыни, imaginatio . Вся традиционная математика по-прежнему прекрасно работает без I , а вся математика, использующая отрицание G , должна использовать I . Если вычисление, в котором используется I , дает результат, принадлежащий к области традиционной математики, то I из него исчезает — так же, как в некоторых вычислениях исчезает другой математический объект, который обозначают буквой i — мнимая единица: (1 + i ) × (1 — i ) = 2.

Страстные поклонники Гарри Поттера должны помнить, что платформа № 9 3/4, от которой отходят поезда в Хогвартс, — это тоже воображаемая платформа, но начинающийся от нее путь тем не менее куда-то ведет.

Робинсон обобщил концепцию супернатуральных чисел на все множество чисел вещественных и назвал их «гипервещественными числами». Супернатуральное число I не может быть ни одним из традиционных натуральных чисел, так как это привело бы к существованию доказательства G в классической математике. Поэтому I не может быть равно 0, 1, 2, 3 или какому-нибудь другому натуральному числу. Однако можно допустить, что I больше любого натурального числа, но тем не менее остается именно числом, не превращаясь в какую-либо бесконечно большую величину. Оно может быть удвоено или возведено в квадрат, и результатом этих операций также будут гипервещественные числа. Два гипервещественных числа можно сложить друг с другом или вычесть друг из друга; гипервещественные числа вообще можно сочетать друг с другом, а также с натуральными числами всеми обычными способами. Например, 2 I и I + 3 представляют собой числа, допустимые в этой новой математической системе.

Вспомним, что гипервещественные числа возникли при добавлении к традиционной математике аксиомы, опровергающей утверждение G , а поскольку эта аксиома независима от традиционной математики, можно беспрепятственно выполнять все обычные вычисления с числами как вещественными, так и гипервещественными, не опасаясь прийти к противоречию (как обычно, в предположении об исходной непротиворечивости традиционной математики).

А как насчет числа 1/ I ? Поскольку I больше всех натуральных чисел, из этого следует, что 1/ I должно быть меньше всех положительных натуральных чисел, оставаясь при этом числом положительным. Значит, наша система содержит «бесконечно малые» положительные числа. Именно о таких числах математики говорили с тех самых пор, когда Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. Для них такие числа были скорее абстракцией, нежели конкретным объектом. Но теперь они — «настоящие» бесконечно малые числа — оказались прямо перед нами, в полном нашем распоряжении! Робинсон использовал эти бесконечно малые для создания нового варианта дифференциального и интегрального исчисления, который называется нестандартным анализом [37] Robinson (1996). . В нем интегрирование и дифференцирование превращаются из эзотерических концепций, мучающих студентов-первокурсников, проходящих математический анализ, в совершенно тривиальные операции, а сложные расчеты с использованием пределов становятся простыми вычислениями с бесконечно малыми числами.

Однако не все так просто: в этой системе становятся необычайно сложными операции сложения и умножения. Доказано, что при переходе к нестандартной математике с гипервещественными числами либо сложение, либо умножение становится таким же сложным, как операции математического анализа — интегрирование и дифференцирование — в нашей традиционной математике. При этом, работая в новой нестандартной математике, нельзя схитрить и использовать для сложения и умножения традиционную математику, потому что никогда не знаешь, окажутся ли числа, которыми мы оперируем, вещественными или гипервещественными.

В некоторых научно-фантастических произведениях утверждается, что человечество сможет использовать математику, чтобы убедить какую-нибудь внеземную цивилизацию в своей разумности. Но что, если математика, которую разработала эта конкретная цивилизация, — это математика, нестандартная с нашей точки зрения? Возможно, те инопланетяне, с которыми мы будем пытаться установить контакт, даже целые числа воспринимают совершенно по-другому. Может быть, у них даже малые дети с легкостью решают задачи дифференциального исчисления, и наша математика только убедит их в том, что мы безнадежно недоразвиты и имеем лишь самое смутное представление о числах. Увидев, с каким трудом мы решаем даже самые простые уравнения движения, они могут быть шокированы и разочарованы. В то же время мы, возможно, будем гордиться своим превосходством, когда узнаем, что инопланетяне еле-еле могут сложить два обычных десятизначных числа.