Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Я предпочитаю называть место, не подверженное резким отклонениям, более нейтральным именем — «Тихонией». А раз уж у нас будет Тихония, то и Крайнестан можно переименовать: мы будем называть его «Диконией». В отличие от Талеба я не считаю, что наука Тихонии — это сплошное очковтирательство, и с гордостью продолжаю преподавать тихонские методы, не забывая при этом, что они применимы лишь к некоторым частям мира, а там, где они не действуют, они, как правило, вводят нас в заблуждение.

Не следует считать, что наука тихонская и наука диконская — две разные вещи. В обеих используется один и тот же научный метод, одна и та же математика. Дело лишь в том, что явления двух разных типов описываются при помощи разных математических моделей. И в обоих случаях встречается масса шарлатанства, в том числе демонстрация поражающих воображение средних значений без какого-либо упоминания о стандартных отклонениях.

Нам кажется вполне целесообразным, что биологи описывают поведение волков одной моделью, а поведение овец — другой. Одна модель относится к хищникам, живущим в дикой природе, а вторая — к травоядным сельскохозяйственным животным. У каждой из этих моделей есть область применимости, и нас не удивляет тот факт, что модель, удовлетворительно описывающую поведение волков, нельзя применить к овцам.

Хотя биологам требуются разные модели для описания волков и овец, а у физиков есть одна модель для взаимодействия субатомных частиц и другая для движения планет, все ученые придерживаются одного и того же научного метода: мы наблюдаем, проводим эксперименты, разрабатываем модели на основе экспериментальных результатов и пытаемся определить для каждой из них область применимости. Успешная модель позволяет нам предсказывать события, которые могут произойти в границах ее применимости. Иногда оказывается, что модель, разработанная для описания одного набора событий, может подойти к совершенно другой области — как происходит, например, в случае успешного применения моделей, взятых из физики, к экономическим явлениям.

Жизнь в Тихонии течет медленно и спокойно, без больших неожиданностей. Здесь нет крупных отклонений от среднего. Хотя в Тихонии есть люди высокие и низкие, люди умные и не очень умные, в ней нет ни пятиметровых великанов, ни сверхбогатых властелинов мира, ни гениев. Тем не менее в этом тихом мире происходит немало событий, и для понимания широкого спектра явлений, происходящих в нем, потребовались усилия множества талантливых мыслителей. Наше понимание Тихонии образует основу большей части нашего понимания Вселенной, и модели тихого мира не следует отбрасывать только потому, что существуют явления, которые они не в состоянии адекватно описать, — например, поведение мировой экономики в последние десятилетия.

По другую сторону границы, в Диконии, есть риск нарваться на всякое. Там можно встретить огромные отклонения от среднего — например, компанию Apple, которая даже после уменьшения капитала возглавляла в 2013 году список корпораций мира, причем по капитализации она более чем вдвое превосходила ближайших преследователей — Shell и IBM. Значения, отстоящие от среднего на сорок стандартных отклонений, встречаются в Диконии сплошь и рядом. По оценочной стоимости Apple опережает «рядовую» гигантскую корпорацию более чем в четыреста раз.

Опытные завсегдатаи пивных могут предсказать, когда начнется драка. Плавное течение разговора внезапно начинает прерываться сердитыми словами. В этот момент равновесие рушится, и уютный мир благовоспитанных посетителей бара, не лезущих в чужие дела, возмущается потасовкой. Нечто подобное происходит и в науке. Можно предсказать, что общепринятая научная модель вот-вот будет поставлена под сомнение, когда обнаруживается все больше и больше явлений, которые эта модель должна, но не может объяснить, и озадаченные ученые начинают высказывать недовольство. Именно из этой озадаченности и возникают радикально новые модели.

Современники немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) называли его «принцем математиков» [23] Точнее, Princeps mathematicorum, то есть «первейшим среди математиков» ( лат. ). Слово princeps исходно обозначало первого в списке сенаторов Древнего Рима, а начиная с Октавиана Августа стало титулом римского императора (отчего начальное устройство Римской империи и называют принципатом ). От него произошло и русское слово «принц», и его аналоги в других европейских языках. . Одним из важнейших его открытий было так называемое нормальное распределение, которое называют также гауссианой, гауссовой кривой или, что менее точно, колоколообразной кривой (см. илл. 1). Нормальное распределение оказалось жизненно важным средством описания тихонских явлений. У явлений, распределенных нормально, бо́льшая часть значений находится вблизи среднего, и чем дальше мы отходим от среднего, тем более редкими становятся значения. Например, если нормальная кривая, изображенная на илл. 2, отражает распределение роста венгерских мужчин, то можно ожидать, что около двух третей (68 %) мужчин будут находиться в пределах одного стандартного отклонения от среднего роста, равного 175 см, — то есть будут иметь рост от 168 до 182 см. А отличаться от среднего более чем на три стандартных отклонения, то есть иметь рост более 196 см или менее 154 см, будут менее 0,1 %.

Греческая буква μ (мю), отмечающая середину оси абсцисс, обозначает среднее значение, или, если использовать более точный термин, математическое ожидание . Как видите, в точке μ кривая достигает максимума: это означает, что при нормальном распределении среднее значение и встречается чаще всего. Греческая буква σ (сигма) обозначает стандартное отклонение. Также можно видеть, что для 34,1 % населения измеряемая величина (например, рост) находится между средним значением и значением, превышающим среднее на одно стандартное отклонение. Еще для 34,1 % эта величина ниже среднего на одно стандартное отклонение или меньше. Кроме того, на три стандартных отклонения от среднего отличаются менее 0,2 % населения (один человек из пятисот). Так распределяются величины по гауссовой кривой. Во второй части книги я уделю некоторое время восхвалению ее описательных способностей. Сейчас же достаточно сказать, что это распределение очень хорошо моделирует многие природные явления.

Мой друг Алекс прав относительно чудес, пока речь идет о явлениях, распределенных нормально. Кривая нормального распределения спадает чрезвычайно быстро: на расстоянии четырех стандартных отклонений от среднего значение величины уже настолько близко к нулю, что зазор между кривой и осью абсцисс можно разглядеть только при помощи мощного микроскопа. На расстоянии десяти стандартных отклонений и далее не поможет и микроскоп. Лишь в одном из триллиона триллионов случаев можно ожидать отклонения от среднего, превышающего десять стандартных отклонений.