Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Эти примеры позволяют нам ввести понятия математического ожидания и равновесных игр, а также привести их определения в общем виде. Пусть имеются события S 1S 2, S 3..., S n, являющиеся попарно несовместными (ни одно из событий не может произойти одновременно с другим), которые могут произойти в азартной игре. Вероятности событий равны р 1р 2, р 3..., р n(выполняется условие p 1+ p 2+ p 3+ … + р n= 1), суммы ставок соответственно равны r 1, r 2, r 3..., r n. Ожидаемый выигрыш или математическое ожидание М [X] игры или случайного события, где результатом является одно из событий S 1, S 2, S 3, ..., S n, определяется следующим образом:

М [X] = р 1• r 1+ р 2• r 2+ р 3• r 3+ ... + p n• r n.

На основании этого определения говорят, что игра является справедливой (или равновесной), если математическое ожидание (средний выигрыш на каждом ходу) совпадает с суммой сделанной ставки. Также говорят, что общее математическое ожидание игры (ожидаемая сумма выигрыша минус сумма сделанных ставок) равна 0.

Рассмотрим, как можно определить еще одним способом, является ли азартная игра равновесной, с помощью математического ожидания.

Игра заключается в следующем: игрок ставит 1 евро на число от 1 до 6, например на 3. Затем бросают три обычных кубика. Если 3 выпадает один раз, выигрыш составляет 1 евро, если 3 выпадает два раза, выигрыш равен 2 евро, если выпадает три раза — 3 евро. Кроме этого, при каждом выигрыше игроку возвращается сумма сделанной ставки в 1 евро. Если ни на одном из кубиков не выпадает 3, игрок проигрывает свою ставку в 1 евро. Является ли игра равновесной, либо же одна из сторон имеет преимущество?

Хотя на первый взгляд может показаться, что преимущество имеет игрок, на самом деле все по-другому. Можно рассуждать так: поскольку бросают три кубика и вероятность того, что выпадет заданное число, равна 1/6 для каждого кубика, вероятность выигрыша составляет как минимум 1/2. Но, кроме этого, есть вероятность того, что выбранное число выпадет два или даже три раза, поэтому шансы игрока на победу выше.

Однако подобное рассуждение неверно. Существует 216 возможных исходов (6*6* 6). Лишь в одном случае (р = 1/216) загаданное число выпадет три раза, в 15 случаях — дважды (р = 15/216), и в 75 случаях игрок получит сумму, равную ставке (р = 75/216). Следовательно, в 125 случаях (216 - 1 - 15 - 75) игрок теряет свою ставку.

Заметим, что исходов, когда игрок проигрывает (125), больше, чем тех, когда он выигрывает (91). Если вычислить математическое ожидание для ставки в 1 евро, получим:

3 • 1/216 + 2 • 15/216 + 1 • 75/216 - 1 • 125/216 = 108/216 - 125/216 = -17/216 = -0,0787...

Следовательно, преимущество имеет банк, который в среднем выигрывает почти 8 центов с каждого поставленного евро.

Несмотря на то что мы описали математическое ожидание на примере азартных игр, это понятие применимо к различным случайным событиям, которые порой не имеют ничего общего с азартными играми, как в следующем примере.

В следующем июле состоится конференция, на которую вы хотели бы поехать, но не знаете, получится ли это сделать из-за напряженного расписания и проблем с работой.

Если заплатить вступительный взнос до 1 марта, то он составит 150 евро. Если вы не сможете поехать, платеж возвращен не будет. При оплате после 1 марта (и даже непосредственно по прибытии на конференцию) сумма составит 200 евро.

28 февраля вы оцениваете вероятность того, что сможете поехать на конференцию. Пусть эта вероятность равна p. Что нужно сделать в зависимости от значения p — заплатить заранее или непосредственно по приезде?

Если вы уплатите взнос заранее, математическое ожидание равно -150 (вне зависимости от того, поедете вы или нет, так как взнос не возвращается).

Если вы платите непосредственно по прибытии, то математическое ожидание равно -200 • р + (1 — р) • 0 = -200 • p( вы платите только в том случае, если смогли приехать).

Математические ожидания равны при р = 150/200 = 0,75.

Следовательно, если р > 0,75, то лучше заплатить заранее, если же р < 0,75, то лучше заплатить по прибытии на конференцию. При р = 0,75 результат будет одинаков.

Как мы увидели из предыдущего раздела, математическое ожидание помогает понять, является азартная игра равновесной или нет. Если игра равновесная, то после большого числа ходов ожидается, что мы не получим ни выигрыша, ни проигрыша. В противном случае мы можем рассчитать средний ожидаемый выигрыш или проигрыш. Несмотря на это, существовали и до сих пор существуют игроки, которым после множества ставок в игре с нулевым или отрицательным математическим ожиданием удается выигрывать. Рассмотрим математические инструменты, которые позволяют проанализировать повторяющиеся ходы (ставки) в азартной игре. Целью нашего анализа будет определить вероятность того, что мы сможем «превзойти ожидания».

Начнем с анализа игры в рулетку с 37 секторами (числа от 1 до 36 и 0). Какова вероятность того, что в 10 играх три раза выпадет зеро?

Вероятность выпадения трех зеро подряд в определенный момент игры равна (1/37) 3• (36/37) 7= 0,00016. Общая вероятность равна этому результату, умноженному на число позиций, которое может занимать последовательность из трех нулей: Сю з = 120. Иными словами,

p( 3 нуля в 10 играх) = 120 • 0,00016 = 0,0192,

что приблизительно соответствует 1 шансу из 50. Этот пример можно обобщить, получив важный для анализа азартных игр результат. Если в азартной игре или в произвольном эксперименте совершено n ставок или n независимых друг от друга испытаний и нам известна вероятность одиночного события (успешного исхода испытания), то

p( r из n испытаний завершатся успешно) = С n,r• p r• q (n-r), где q = 1-p, r≤n.

Распределение количества «успешных» исходов от 1 до n называется биномиальным распределением. Для применения этой формулы необходимо, чтобы испытания были независимыми и чтобы вероятность успешного исхода отдельного события не менялась.

Используем биномиальное распределение, чтобы найти вероятность того, что при n бросках монеты r раз выпадет решка, r = 1, 2, ...,n при n = 8. В этом случае p( выпадения решки) = 1/2, следовательно, q = 1/2, откуда получим p r* q 8-r= (1/2) r• (1/2) 8-r= (1/2) 8= 1/256. Умножив это значение на значения сочетаний (C 8,r) для разных значений r, получим:

Симметричное распределение, которое можно увидеть из таблицы, — следствие того, что вероятность выпадания решки при одиночном броске равна 1/2. Читатель наверняка уже заметил, что последовательность чисел (1, 8, 28, 56, 50, 56, 28, 8, 1) из таблицы выше, сумма которых равна 256 (2 8), совпадает с одним из рядов треугольника Паскаля. Следовательно, биномиальное распределение связано с биномиальными коэффициентами, которые в данном конкретном случае равны коэффициентам в биноме (а + b) 8.