Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

С m,n= m! / (m— n)! • n!

Если финал футбольного чемпионата завершается ничьей, пробивается серия пенальти. Как правило, серия пенальти состоит из 5 ударов; все они должны выполняться разными игроками. Сколько списков из 5 пенальтистов можно составить из И игроков, которые находились на поле на момент окончания матча?

В некоторых задачах неясно, важен порядок или нет, и допускаются оба варианта. Эту задачу можно понимать двояко.

1. Нужно составить группы из 5 игроков так, чтобы любые две группы отличались между собой как минимум одним игроком. В этом случае нужно вычислить число сочетаний из 11 по 5: 11! / (5! • 6!) = 462.

2. Все интересующиеся футболом знают, что в реальности каждая команда подает арбитру пронумерованный список из 5 пенальтистов. Поэтому два списка, где указаны одни и те же игроки, но в разном порядке, будут отличаться. В этом случае нужно вычислить количество размещений из 11 по 5, равное 11!/6! = 55440.

Представим себе такой диалог:

— Здравствуйте, можно лотерейный билет?

— Возьмите, номер 00010.

— Нет, дайте другой, этот номер очень маленький и никогда не выпадает.

— Если хотите, я дам вам второй, 00001, два по цене одного.

— Нет, они все равно почти никогда не выпадают.

— Хорошо, держите 74283.

— Другое дело, этот подойдет. Спасибо.

Все мы имеем некоторое представление о том, что такое случайность и каковы ее законы. Многие задачи теории вероятностей в действительности намного сложнее, чем кажется. В теории вероятностей подобное происходит чаще, чем в других разделах математики, поскольку при математическом моделировании случайных событий нужно учитывать все возможные ситуации. Диалог в начале этого раздела, пусть несколько неправдоподобный, показывает, насколько простейшие правила теории вероятностей далеки от реальности, в частности, когда речь идет об азартных играх. С одной стороны, страсть множества людей к азартным играм и ставкам показывает, сколь мало обычный человек знает о расчете вероятностей. Несмотря на все заверения о ничтожной вероятности выигрыша, многие продолжают играть, надеясь, что в этот раз им повезет, даже если они играют каждую неделю уже много лет и никогда ничего не выигрывали. С другой стороны, рассуждая о шансах попасть в аварию, отправляясь на выходных за город на машине, все надеются, что авария их минует.

Далее мы расскажем о некоторых любопытных примерах, связанных с вероятностью выигрыша в игре или со справедливой жеребьевкой. Не раз и не два результат будет противоречить тому, что нам будет подсказывать интуиция. Все эти игры и задачи показывают, что, как правило, мы не слишком хорошо знакомы со случайными событиями и порой интуиция подсказывает совершенно обратное тому, что происходит на самом деле.

Два друга, Иван и Николай, любители игры в петанк, на тренировках играют в такую игру: Иван берет два шара, Николай — один, они ставят кеглю на определенном расстоянии и бросают шары. Если их уровень игры одинаков, какова вероятность того, что ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном?

Кажется, что ответ — 2/3, так как единственный шар, брошенный Николаем, может быть ближе всего к кегле, а также на втором или на третьем месте. В двух последних случаях ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном. Однако можно рассуждать иначе и представить четыре возможных случая:

1. Оба шара, брошенных Иваном, находятся ближе к кегле, чем шар Николая.

2. Оба шара, брошенных Иваном, находятся дальше от кегли, чем шар Николая.

3. Первый шар Ивана окажется ближе, второй — дальше, чем шар Николая.

4. Первый шар Ивана окажется дальше, второй — ближе, чем шар Николая.

В этом случае Николай выигрывает всего один раз из четырех, поэтому вероятность победы Ивана равна 3/4. Какое из двух рассуждений неверно? Почему?

Верным является первое рассуждение. На самом деле, если мы не пометим шары, существует лишь три возможных случая, а если мы нанесем на шары какие-то отметки, число возможных случаев будет равно шести, и в четырех из них ближе всего к кегле окажется один из шаров, брошенных Иваном. Второй способ рассуждения неверен, поскольку мы подсчитываем два раза лишь один случай (шар Николая оказывается в середине), считая шары Ивана помеченными, но в остальных двух случаях мы считаем шары непомеченными и учитываем эти случаи только один раз, а не два.

Борис и Роман играют в кости с обычным игральным кубиком, на грани которого нанесены очки от 1 до 6. Первым кубик бросает Борис, затем Роман. Какова вероятность, что результат Бориса будет больше, чем результат Романа?

Очевидно, что вероятность того, что игроки выбросят одинаковое число очков, равна 1/6 (она совпадает с вероятностью того, что результат Романа будет тем же, что и у Бориса). Следовательно, вероятность выбросить разное число очков равна 5/6. Вероятность того, что результат Бориса будет выше, в два раза меньше и равна 5/12.

У нас есть три кубика разных цветов: на гранях красного кубика нанесены числа 2, 4, 9 по два раза каждое, на гранях синего кубика — 3, 5 и 7 по два раза каждое, на гранях белого — 1, 6 и 8 также по два раза каждое. В этой игре каждый из двух игроков выбирает один кубик и бросает его. Тот, кто выбрасывает больше очков, выигрывает. Оказывается, если дать сопернику выбрать кубик первому, вы всегда сможете выбрать кубик, с которым ваши шансы на победу будут выше, чем у противника. Как такое возможно? Какой кубик нужно выбрать?

Несмотря на то что сумма цифр на гранях всех кубиков одинакова, синий кубик предпочтительнее красного, белый предпочтительнее синего, а красный предпочтительнее белого. Из девяти бросков в каждой паре кубиков обладатель первого кубика выигрывает в пяти случаях, обладатель второго — в четырех. Иными словами, вероятность выигрыша для одного из кубиков равна 5/9, для другого — 4/9. Эти вероятности легко подсчитать, проанализировав все возможные исходы для каждой пары кубиков. Поэтому если вы выбираете кубик после противника, то при верном выборе можете получить преимущество.

Фреска в Помпее, на которой изображены игроки в кости (I век).

Преподаватель решил разыграть подарок среди 30 учеников класса. Один из учеников предложил взять 30 бумажек, пометить одну из них, сложить бумажки пополам, перемешать и раздать ученикам. Преподаватель предложил более простой и быстрый способ: он загадает число от 1 до 30 и запишет его на листе бумаги. Затем каждый из учеников будет называть число, пока кто-нибудь не угадает число, загаданное преподавателем. Один ученик на заднем ряду возразил и сказал, что у него намного меньше шансов выиграть, чем у сидящих на первых рядах. Он сказал, что, скорее всего, он даже не сможет назвать число, так как до него кто-то почти наверняка назовет верный ответ. Прав ли этот ученик, или же, наоборот, преподаватель предложил справедливый способ розыгрыша?