Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Среди базовых допущений Евклида имеется невысказанное, но безусловное ограничение на способы построения геометрических фигур. Все делается при помощи только прямых линий и окружностей. По существу, при построении разрешается пользоваться только линейкой и циркулем. Геометрия Евклида представляет собой математическую идеализацию, в которой прямые линии всегда бесконечно тонки и идеально прямы, а окружности бесконечно тонки и идеально круглы. Так что про Евклидовы построения никак не скажешь, что они сойдут, мол, для сельской местности; они точны , то есть достаточно хороши даже для проверки бесконечно педантичным сверхразумом с бесконечно мощным микроскопом.

Подход Гаусса к правильным многоугольникам основан на открытии Декарта, которое гласит, что геометрия и алгебра – две стороны одной монеты, связанные между собой координатами на плоскости. Прямая линия представляется уравнением, которому должны соответствовать координаты каждой ее точки. То же можно сказать об окружностях, только уравнение там получается посложнее. Если две прямые или окружности пересекаются, то точки их пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям. Если вы пытаетесь найти эти точки путем решения пары уравнений, то для двух прямых все получится достаточно просто. Если прямая пересекается с окружностью или если пересекаются две окружности, то вам придется решить квадратное уравнение. Для этого существует формула, и ее ключевое действие – извлечение квадратного корня. Остальное сводится к простой арифметике: сложить, вычесть, умножить, разделить.

Процесс геометрического построения при помощи линейки и циркуля сводится, с точки зрения алгебраиста, к формированию последовательности квадратных корней. Если воспользоваться кое-какими специфическими приемами, станет ясно, что это то же самое, что решить уравнение, «степень» которого – наибольшая степень неизвестного в нем – равна 2, 4, 8, 16, то есть представляет собой степень двойки. Не каждое такое уравнение сводится к совокупности квадратных уравнений, но ключ здесь – степень двойки. Какая именно степень, определяет, сколько квадратных уравнений вам потребуется объединить в цепочку.

Правильные многоугольники превращаются в очень простые уравнения, если воспользоваться комплексными числами, в которых из –1 можно извлечь квадратный корень. Вот, к примеру, уравнение для вершин правильного пятиугольника:

x 5 – 1 = 0.

Согласитесь, очень простое и элегантное уравнение. Если исключить очевидное действительное решение x = 1, то остальные удовлетворяют уравнению

x 4+ x 3+ x 2+ x + 1 = 0.

По-прежнему красивое уравнение и, главное, четвертой степени, а 4 – степень двойки. Нечто аналогичное происходит и с уравнением семнадцатиугольника, но здесь в уравнениях складываются степени неизвестного вплоть до шестнадцатой, а 16 – тоже степень двойки.

С другой стороны, правильный семиугольник имеет аналогичное уравнение степени 6, которая не является степенью двойки. Так что вы определенно не можете построить правильный семиугольник при помощи линейки и циркуля [19] Точнее говоря, многочлен должен, помимо всего прочего, быть несократимым – то есть не являться произведением двух многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами. Если n – простое число, то x n – 1 + x n – 2 + … + x + 1 несократим всегда. – Прим. авт. . Поскольку Евклид строит пятиугольник, его уравнение тоже должно сводиться к серии квадратных уравнений. Применив алгебру, несложно выяснить, как именно. Вооруженный этой идеей, Гаусс обнаружил, что уравнение семнадцатиугольника тоже сводится к серии квадратных уравнений. Во-первых, 16 = 2 4, то есть степень двойки, что необходимо для разложения в систему квадратных уравнений, хотя не всегда достаточно. Во-вторых, 17 – простое число, что позволило Гауссу найти эту систему.

Любой знающий математик мог проследить за рассуждениями Гаусса после того, как тот показал верный путь, но никто другой даже не заподозрил, что Евклид в свое время назвал не все правильные многоугольники, которые можно построить.

Неплохо для девятнадцатилетнего юноши.

Благодаря финансовой помощи герцога Гаусс продолжал двигаться вперед семимильными шагами, особенно в теории чисел. С детства он умел молниеносно считать и мог мгновенно проделывать в уме сложные арифметические расчеты. В докомпьютерную эпоху такая способность была очень полезна. Она помогала ему быстро продвигаться вперед в теории чисел, и репутация молодого Гаусса заметно подросла, когда он написал один из самых известных исследовательских текстов в истории математики – «Арифметические исследования» (Disquisitiones Arithmeticae). Эта книга сделала для теории чисел то, что Евклид двумя тысячелетиями раньше сделал для геометрии. Благодаря субсидии, которую выделил пунктуальный герцог, книга вышла в 1801 г.; автор в ответ посвятил книгу спонсору.

Один из основных методов, используемых в книге, представляет собой типичный пример способности Гаусса синтезировать из массы неорганизованных и сложных результатов простые понятия. Сегодня мы называем этот метод модульной арифметикой. Многие ключевые результаты в теории чисел зиждутся на двух простых вопросах:

При каких условиях одно заданное число делится на другое?

Если не делится, то как связаны эти два числа?

Проведенное Ферма различие между 4 k + 1 и 4 k + 3 относится к этому же типу. Здесь речь идет о том, что произойдет, если разделить некое число на 4. Иногда оно делится нацело. Числа

0 4 8 12 16 20…

кратны четырем. Остальные четные числа

2 6 10 14 18…

не кратны. Мало того, каждое из них при делении на 4 дает остаток 2; то есть они представляют собой сумму числа, кратного 4, и «остатка» 2. Аналогично нечетные числа дают в остатке либо 1:

1 5 9 13 17 21…

либо 3:

3 7 11 15 19 23…

До того как Гаусс взял это дело в свои руки, обычно говорили, что эти последовательности содержат числа вида 4 k , 4 k + 1, 4 k + 2 и 4 k + 3, если расставить их в порядке возрастания остатков. Гаусс сказал иначе: это группы чисел, сравнимых с 0, 1, 2, 3 (или конгруэнтных 0, 1, 2, 3 соответственно) по модулю 4. Или, если вспомнить освященную временем латынь, modulo 4.

До сих пор все это только терминология, но главное здесь – структура. Если вы складываете два числа или перемножаете их и спрашиваете, с которым из чисел 0, 1, 2, 3 сравним (все по модулю 4) результат, то оказывается, ответ на этот вопрос зависит только от того, с какими из чисел сравнимы первоначально взятые вами числа. К примеру:

– если вы складываете числа, сравнимые с 2 и 3, то результат всегда сравним с 1;

– если вы перемножаете числа, сравнимые с 2 и 3, то результат всегда сравним с 2.