Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Недюжинный ум мальчика проявился очень быстро. Когда ему было три года, отец однажды раздавал при нем плату работникам. Внезапно маленький Карл подал голос: «Нет, папа, это неправильно, должно быть…» Пересчет показал, что малыш был прав. Осознав потенциальные способности сына, родители Гаусса предприняли серьезные усилия, чтобы помочь ему развить их. Когда Гауссу было восемь лет, учитель Бюттнер в школе задал классу арифметическую задачу. Часто говорят, что он велел детям сложить все числа от 1 до 100, но это, вероятно, упрощение. Реальная задача, скорее всего, была сложнее, но в конечном итоге требовала именно этого: сложить большое количество чисел, разделенных равными интервалами. С точки зрения учителя, у такого примера есть важное и очевидное достоинство: существует хитрый способ упростить расчет. Не раскрывайте секрета вашим ничего не подозревающим ученикам – и вы надолго, может быть на несколько часов, загрузите их объемными вычислениями, в которых они почти наверняка где-нибудь да ошибутся. Но один восьмилетка посидел за партой несколько секунд, нацарапал на своей грифельной доске одно-единственное число, а затем решительно прошагал к столу учителя и положил перед ним доску лицом вниз. «Ligget se [18] «Вот он [ответ]» (лат.). – Прим. ред. », – проговорил он своим деревенским говорком: «Вот он лежит». Никакого неуважения в этом не было, так в те времена было принято сдавать свой ответ. Другие ученики усердно считали, горка грифельных досок перед учителем медленно росла, а Бюттнер наблюдал за Гауссом, который спокойно сидел за своей партой. Когда же доски были проверены, оказалось, что из всех ответов верен только ответ Гаусса.

Но предположим, что задача действительно была 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. Какой хитрый прием можно здесь использовать? Ну, для начала нужно обладать достаточным воображением, чтобы понять, что такой прием существует. Затем его нужно найти. Этот же прием работает и для более сложных примеров такого рода. Считается, что Гаусс мысленно сгруппировал числа по парам: одно из начала списка, другое из конца. Тогда

1 + 100 = 101,

2 + 99 = 101,

3 + 98 = 101,

и дальше закономерность сохраняется (поскольку в начале списка числа увеличиваются каждый раз на единицу, а в конце при обратном порядке на столько же уменьшаются, компенсируя прибавление) до последней суммы

50 + 51 = 101.

Таких пар 50, каждая дает в сумме 101, так что суммарный итог составит 50 × 101 = 5050.

Ligget se .

Бюттнер понял, что судьба столкнула его с настоящим гением, и дал Гауссу лучший арифметический текст, какой только смог купить. Мальчик прочел его как роман – и освоил так же быстро. «Он мне не под силу. Я не могу больше ничему его научить», – сказал Бюттнер. Но он мог все же помочь своему протеже-вундеркинду. В 1788 г. Гаусс при помощи Бюттнера и его помощника Мартина Бартельса начал учиться в гимназии, где и приобрел вкус к лингвистике, изучив верхненемецкий и латынь.

Бартельс, знавший в Брауншвейге кое-кого из видных людей, рассказал им о талантах Гаусса. Рассказ о необыкновенном юноше дошел и до ушей герцога Карла-Вильгельма-Фердинанда Брауншвейг-Вольфенбюттельского, и в 1791 г., в возрасте 14 лет, Гаусс был удостоен личной герцогской аудиенции. Он был стеснителен и скромен – и невероятно умен. Герцог, в равной степени очарованный и впечатленный, пообещал выделить деньги на образование мальчика. В 1792 г. Гаусс на деньги герцога поступил в колледж Collegium Carolinum. В колледже его интерес к языкам, особенно классическим, значительно окреп. Герхард заявил, что подобные знания бесполезны в жизни и нечего тратить время на их приобретение, но вмешалась Доротея. Их сын должен получить наилучшее возможное образование, а оно включает в себя и греческий, и латынь. И точка.

Некоторое время Гаусс всерьез интересовался сразу двумя областями – математикой и языками. Он самостоятельно открыл (без доказательств) пять или шесть важных математических теорем, в том числе закон квадратичной взаимности в теории чисел, о котором я расскажу позже, и высказал гипотезу о простых числах, согласно которой количество простых чисел, меньших x , приблизительно равно x /log x . Эту гипотезу независимо друг от друга доказали в 1896 г. Жак Адамар и Шарль де ла Валле-Пуссен. В 1795 г. Гаусс оставил Брауншвейг, чтобы начать учебу в Университете Гёттингена. Его профессор Авраам Кестнер в основном писал учебники и энциклопедии и не занимался исследовательской работой. Гаусс был о нем невысокого мнения и не скрывал этого. Он уже уверенно двигался в направлении карьеры лингвиста, когда боги математики весьма наглядно пришли ему на помощь с семнадцатиугольником.

Чтобы понять, насколько радикальным было открытие Гаусса, нам нужно вернуться на две с лишним тысячи лет назад, в Древнюю Грецию. Евклид в «Началах» систематизировал и привел к единому виду теоремы великих греческих геометров. Он был ярым поборником логики и утверждал, что все должно быть доказано. Ну, почти все. С чего-то нужно начинать, и начинают обычно с предположений, которые не доказываются. Такие предположения Евклид подразделил на три типа: определения, общепринятые положения и постулаты. Мы сегодня называем утверждения двух последних типов аксиомами.

На базе таких предположений Евклид проработал значительную часть греческой геометрии, шаг за шагом. На наш современный взгляд, кое-каких допущений у него все же недоставало – довольно тонких допущений, таких как «если прямая проходит через некую точку внутри окружности, то эта прямая, если ее продолжить достаточно, должна с этой окружностью пересечься». Но если оставить мелочные придирки, Евклид проделал замечательную работу, выведя далеко идущие следствия из простых принципов.

Вершиной «Начал» стало доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников – объемных фигур, гранями которых являются правильные многоугольники, одинаково организованные в каждой вершине. Перечислим эти пять фигур: тетраэдр с четырьмя гранями – равносторонними треугольниками; куб с шестью квадратными гранями; октаэдр с восемью гранями – равносторонними треугольниками; додекаэдр – двенадцатигранник с правильными пятиугольниками в качестве граней; и икосаэдр с двадцатью гранями – равносторонними треугольниками. Отметим, что если вы являетесь Евклидом и настаиваете на логических доказательствах, то вы не сможете построить трехмерную геометрию додекаэдра, если предварительно не разобрались в двумерной геометрии правильного пятиугольника. В конце концов, додекаэдр построен из двенадцати правильных пятиугольников. Так что прежде, чем приступать к настоящему делу – к правильным многогранникам, вам придется разобраться с правильными пятиугольниками и многими другими премудростями.