Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Простой пример – утверждение «прямая, проходящая через точку, которая лежит внутри окружности, обязательно с этой окружностью пересекается». На чертеже это выглядит очевидно, но такое утверждение не является логическим следствием Евклидовых аксиом. Гильберт понял, что аксиомы Евклида неполны, и решил исправить оплошность. Евклид определял точку как «то, что не имеет частей», а прямую – как линию, которая «лежит равномерно по отношению к точкам на ней». Гильберт считал эти утверждения лишенными смысла. Главное, заявлял он, – это как ведут себя эти понятия, а не какой-то мысленный образ того, что они собой представляют. «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках», – говорил Гильберт коллегам. В частности, рисунки были вне игры.

Разумеется, этот проект Гильберта был тесно связан с более глубоким вопросом, который к тому моменту уже был понятен ученым, – вопросу неевклидовых геометрий и аксиомы о параллельных (глава 11). Гильберт пытался установить базовые принципы аксиоматического рассмотрения математических тем. Среди этих тем были непротиворечивость (отсутствие логических противоречий) и независимость (чтобы никакая аксиома не была следствием из других аксиом). Также весьма желательны были полнота (не упустить ничего важного) и простота (по возможности). Евклидова геометрия была пробным камнем. С непротиворечивостью все было просто: Евклидову геометрию можно смоделировать при помощи алгебры, применяя ее к координатам ( x, y ) на плоскости. То есть можно начать с обычных чисел и построить на их основе математическую систему, которая будет подчиняться всем Евклидовым аксиомам. Из этого следует, что эти аксиомы не могут противоречить друг другу, поскольку тогда доказательство от противного покажет нам, что построенной модели не существует . У этого рассуждения, однако, имеется один потенциальный недостаток, и Гильберт с самого начала понимал это. При этом предполагалось, что стандартная числовая система непротиворечива сама по себе; что арифметика состоятельна – именно это математики имеют в виду, когда говорят «существует». Каким бы очевидным это ни казалось, никто и никогда в реальности этого не доказывал. Позже Гильберт попытался устранить этот пробел, но сам об этом пожалел.

Результатом этой работы стала лаконичная и элегантная книга «Основания геометрии», опубликованная в 1899 г. В ней Евклидова геометрия выводилась из 21 явно сформулированной аксиомы. Три года спустя Элиаким Мур и Роберт Мур (не родственники) доказали, что одну из этих аксиом можно вывести из остальных, так что на самом деле достаточно 20 аксиом. Гильберт начал с шести простейших понятий: это объекты «точка», «прямая», «плоскость» и отношения «между», «лежит на» и «конгруэнтный». Восемь аксиом разбирают отношения инцидентности между точками и прямыми, такие как «любые две различные точки лежат на одной прямой». Четыре аксиомы (которые Евклид, пользуясь чертежами, принял по умолчанию, без явной формулировки) говорят о порядке точек на прямой. Еще шесть разбирают вопросы конгруэнтности (отрезков прямых и треугольников; слово «конгруэнтный» по существу означает «такой же по форме и размеру»). Далее идет Евклидова аксиома о параллельных, в необходимости включения которой уже не сомневался ни один компетентный математик. Наконец, были еще две тонкие аксиомы о непрерывности, согласно которым точки на прямой соответствуют действительным числам (а не, скажем, рациональным, ведь тогда прямые, очевидно пересекающиеся на чертеже, могут позабыть сделать это в рациональной точке).

Главную ценность книга Гильберта представляла не как учебник – Евклид к тому времени успел основательно выйти из моды, – а как стимул, вызвавший лихорадочную активность в деле исследования логического фундамента математики. Американские математики, в частности, были особенно заметны на переднем плане этой волны, из которой чуть позже родился своеобразный логико-математический гибрид – метаматематика. В каком-то смысле это математика в приложении к самой себе – или, точнее говоря, к собственной логической структуре. Математическое доказательство может рассматриваться не просто как процесс, раскрывающий новые математические закономерности, но как самостоятельный математический объект. В самом деле, именно этот аспект – глубокая самоотносимость – инициировал процесс разрушения Гильбертовой мечты. В ноябре того же года, можно сказать, рванула настоящая бомба – вышла статья молодого логика по имени Курт Гёдель (глава 22). В ней содержались доказательства двух ошеломляющих теорем. Во-первых, если математика непротиворечива, то доказать это невозможно. Во-вторых, в математике существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Математика изначально неполна, ее логическая непротиворечивость не может быть установлена, а некоторые задачи по-настоящему невозможно решить.

Говорят, Гильберт был «очень сердит», когда впервые узнал о работе Гёделя.

Рассказ о влиянии Гильберта на науку не может быть полным без упоминания о Гильбертовых проблемах – списке из 23 крупных открытых вопросов и областей математики, представленном им на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. Этот перечень подготовил почву для значительной доли математических исследований XX в. Среди названных Гильбертом задач – доказательство непротиворечивости математики, довольно неопределенный запрос на аксиоматический разбор физики, вопросы о трансцендентных числах, гипотеза Римана, самый общий закон взаимности для любого числового поля, алгоритм проверки существования решений диофантовых уравнений и разные технические вопросы геометрии, алгебры и математического анализа. Десять из 23 вопросов полностью решены, три остаются нерешенными, несколько вопросов сформулированы слишком расплывчато, чтобы можно было понять хотя бы, как должно выглядеть их решение, и два вопроса не имеют решения в принципе.

Конечно, математика после Гильберта состояла не только из тех, кто пытался решить его 23 проблемы, но следует признать, что следующие полвека такие люди оказывали существенное, и в основном положительное, влияние на развитие математики. Для человека, который хотел бы выдвинуться и произвести впечатление на коллег-математиков, решение одной из Гильбертовых проблем было одним из лучших способов сделать это.

С возрастом интерес Гильберта к математической физике заметно усилился, как часто бывает у математиков: многие начинают свою карьеру с теоретической математики и с течением времени постепенно дрейфуют к лагерю прикладников. К 1909 г. он работал над интегральными уравнениями, в результате чего возникло понятие Гильбертова пространства – одно из фундаментальных понятий квантовой механики. Кроме того, в статье 1915 г., опубликованной за пять дней до выступления Эйнштейна, он вплотную подошел к открытию Эйнштейновых уравнений общей теории относительности и заявил вариационный принцип, из которого, собственно, и следует уравнение Эйнштейна. Однако само уравнение он не записал.