Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

Архимед мысленно уравновешивает шар, цилиндр и конус на весах, а затем нарезает их бесконечно тонкими ломтиками, которые перераспределяет таким образом, чтобы сохранить баланс. Затем он применяет закон рычага, чтобы соотнести три объема между собой (объемы цилиндра и конуса был уже известны), и выводит требуемые величины. Существуют предположения, что именно Архимед первым использовал настоящие бесконечно малые величины в математике. Возможно, мы усматриваем слишком много в этом не самом вразумительном документе, но ясно, что трактат «О методе» предвосхищает некоторые идеи дифференциального исчисления.

Другие труды Архимеда наглядно показывают, насколько разнообразными были его интересы. Трактат «О спиралях» доказывает некоторые фундаментальные утверждения о длинах и площадях, связанных с Архимедовой спиралью – кривой, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль прямой линии, вращающейся с постоянной скоростью. Трактат «О коноидах и сфероидах» исследует объемы сегментов объемных тел, образованных вращением конических сечений вокруг некоторой оси.

Трактат «О плавающих телах» – первая в истории работа по гидростатике и равновесным позициям плавающих объектов. В него входит и закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Этот принцип является темой знаменитого исторического анекдота, в котором Архимеда просят придумать метод, при помощи которого можно определить, действительно ли обетная корона, изготовленная для царя Гиерона, сделана из золота. Идея решения осеняет Архимеда внезапно, когда он принимает ванну, и он приходит в такой восторг, что выскакивает на улицу, позабыв одеться, и несется по городу в чем мать родила с криком «Эврика!» («Нашел!»). Не забывайте, что появление нагого человека в публичном месте в Древней Греции не рассматривалось как скандальное событие. Кульминацией книги является условие устойчивого плавания параболоида – предтеча фундаментальных идей теории кораблестроения, связанных с остойчивостью и переворачиванием судов.

В «Измерении круга» метод исчерпывания применяется для доказательства того, что площадь круга равна длине половины радиуса, умноженной на длину окружности, – π r 2в современных терминах. Чтобы доказать это, Архимед вписывает в окружность и описывает вокруг нее правильные многоугольники с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Рассматривая девяностошестиугольник, он доказывает результат, эквивалентный, по существу, оценке величины π: он попадал в промежуток между

«Исчисление песчинок» адресовано Гелону II, тирану Сиракуз и сыну Гиерона II. Это подкрепляет предположение о том, что Архимед был в родстве с царской семьей. Он так объясняет свою цель:

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно… я постараюсь показать тебе… что среди чисел, которые получили от нас название и опубликованы в адресованной (мной) Зевксиппу книге, некоторые превосходят не только число песчинок в объеме, равном заполненной, как мы сказали, Земле, но даже в объеме, равном миру [3] Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962. .

Здесь Архимед рекламирует свою новую систему наименования больших чисел и борется с частым неверным употреблением термина «бесконечный» вместо «очень большой». Сам он ясно ощущает разницу. В его работе сочетаются две основные идеи. Первая из них – расширение стандартного набора греческих слов для обозначения чисел, чтобы можно было именовать гораздо большие числа, чем мириада мириад [4] В Древней Греции число 10 000 носило название «мириада» и являлось самым большим числом, имеющим название. – Прим. пер. (100 миллионов, 10 8). Вторая – оценка размеров Вселенной, которую Архимед основывает на гелиоцентрической (с Солнцем в центре) системе Аристарха. Согласно результатам подсчета, для полного заполнения Вселенной потребовалось бы, в современной нотации, не более 10 63песчинок.

В математике существует давняя традиция развлечения, в рамках которого математики исследуют всевозможные игры и головоломки. Иногда это делается просто для удовольствия, а иногда подобные легкомысленные задачи помогают понять серьезные концепции. В «Задаче о быках» поднимаются вопросы, не потерявшие актуальности и сегодня. В 1773 г. немецкий библиотекарь Готтхольд Лессинг наткнулся на одну греческую рукопись: стихотворение из 44 строк, приглашающее читателя подсчитать, сколько животных ходит в стаде бога Солнца. Заголовок стихотворения представляет его как письмо от Архимеда к Эратосфену. Начинается оно так:

Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.

(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)

Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

Их в четырех стадах много когда-то паслось.

Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,

Темной морской волны стада другого был цвет,

Рыжим третие было, последнее пестрым. И в каждом

Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

Все же храня соразмерность такую… [5] Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962.

Затем в ней перечисляются семь уравнений в стиле:

число белых быков число черных быков + число рыжих быков и следует продолжение:

Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,

Нам раздельно назвав тучных быков число,

Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,

Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,

Все ж к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй,

Свойства какие еще Солнца быков числа.

число белых быков + число черных быков = квадратное число,

число пестрых быков + число рыжих быков = треугольное число.

Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув,

И сможешь точно назвать каждого стада число,

То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,

Что в этой мудрости ты все до конца превзошел [6] Архимед. Сочинения. – М.: Физматлит, 1962. .

Квадратные числа – это 1, 4, 9, 16 и т. д., получаются они при умножении натурального числа на само себя. Треугольные числа – это 1, 3, 6, 10 и т. д., образуемые сложением последовательных натуральных чисел, к примеру, 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Эти условия образуют то, что мы сегодня называем системой диофантовых уравнений в честь Диофанта Александрийского, который написал о них около 250 г. в книге «Арифметика». Решение должно даваться в целых числах, поскольку вряд ли у бога Солнца в стаде ходит половинка коровы.