Авинаш Диксит - Стратегические игры

Встречается и название «сороконожка». Прим. ред.

См. Steven D. Levitt, John A. List, and Sally E. Sadoff, Checkmate: Exploring Backward Induction Among Chess Players, American Economic Review, vol. 101, no. 2 (April 2011), pp. 975–90. Вот детали этой игры. Если игрок А выбирает «взять» в узле 1, то игрок А получает 4 доллара, а игрок Б — 1 доллар. Если игрок А пропускает ход, а игрок Б выбирает «взять» в узле 2, то игрок А получает 2 доллара, тогда как игрок Б — 8 долларов. Такой процесс удвоения выигрыша продолжается до узла 6, где в случае выбора игроком Б «взять» выигрыш игрока А составляет 32 доллара, а Б — 128 долларов. Однако если игрок Б выберет «пропустить», выигрыши составят 256 долларов для игрока А и 64 доллара для игрока Б.

Другие результаты были обнародованы в статье, опубликованной ранее: Ignacio Palacios-Huerta and Oscar Volij, Field Centipedes, American Economic Review, vol. 99, no. 4 (September 2009), pp. 1619–35. Из всех шахматистов, участвовавших в исследовании, 69 процентов выбрали вариант «взять» в первом узле, причем шахматисты с более высоким рейтингом чаще выбирали вариант «взять» при первой же возможности. Эти результаты свидетельствовали о чрезвычайно высокой способности игроков переносить накопленный опыт в новый игровой контекст, однако в более поздней работе, о которой шла речь выше, эти результаты не были воспроизведены.

Как вы увидите в упражнениях, еще одна ключевая особенность этой игры с нулевой суммой состоит в том, что один игрок может гарантированно одержать победу, независимо от действий другого игрока. Напротив, лучший ход игрока в игре «стоножка» зависит от его ожиданий в отношении действий другого игрока.

Русская версия шоу проходила под названием «Последний герой». Прим. ред.

Формально Руди сталкивается с необходимостью сделать выбор между поддержкой Рика или Келли в узле действия, после того как он победит в испытании на получение иммунитета. Поскольку все присвоили значение 0 вероятности того, что он выберет Келли (вследствие союза Рика и Руди), мы отображаем на дереве только ситуацию, в которой Руди выбирает Рика. Точно так же жюри предстоит сделать выбор между Риком и Руди в последнем узле действия, лежащем на этой ветви игры. В этом случае предрешенный исход также состоит в победе Руди.

Читатели, которым необходимо изучить или освежить в памяти правила сложения и умножения вероятностей, найдут краткие инструкции в приложении к главе 7.

Читатели, которые знакомы с алгеброй вероятностей, могут решить эту игру, воспользовавшись более общими символами вместо конкретных значений вероятностей, как в упражнении U10к этой главе.

В действительности цена может быть указана в минимальных денежных единицах (например, в целых центах), а значит, может принимать конечное количество дискретных значений. Однако эта единица, как правило, настолько мала, что имеет смысл считать цену непрерывной переменной.

Если компании могут выбирать цену, выраженную в любом количестве центов в рамках одного доллара, тогда у каждой компании есть 100 дискретных стратегий, а значит, таблица будет иметь размер 100 на 100. Безусловно, она будет слишком громоздкой с точки зрения анализа. Использование алгебраических формул с непрерывными переменными — более простой, а не более сложный подход, как может показаться некоторым читателям. Подход «Алгебра — наш друг» рассматривается в главе 5.

Вот как рассчитывались выигрыши в этом примере. Когда команда нападения выбирает стратегию «средний пас», а команда защиты отвечает стратегией «защита в случае паса», по нашим оценкам, вероятность успешного завершения паса и получения 15 ярдов составляет 50 процентов, вероятность незавершенного паса (0 ярдов) — 40 процентов, а вероятность того, что пас будет перехвачен и команда потеряет 30 ярдов, — 10 процентов; в среднем это составляет 0,5 × 15 + 0,4 × 0 + 0,1 × (−30) = 4,5 ярда. Данные в таблице были предложены небольшой группой экспертов из числа соседей и друзей, собранной Дикситом в один осенний воскресный день. Все эксперты получили за свои консультационные услуги гонорар.

Эта концепция названа по имени математика и экономиста Джона Нэша, который сформулировал ее в докторской диссертации, написанной во время учебы в Принстонском университете в 1949 году. Кроме того, Нэш предложил решение кооперативных игр, которое мы рассмотрим в главе 17. В 1994 году Джон Нэш вместе с двумя другими специалистами по теории игр, Райнхардом Зелтеном и Джоном Харсаньи (мы проанализируем некоторые аспекты их работы в главе 8, главе 9и главе 13), получил Нобелевскую премию по экономике. Биографическая книга Сильвии Назар «Прекрасный разум: жизнь гения математики и нобелевского лауреата Джона Нэша» (A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash (New York: Simon & Schuster, 1998) легла в основу художественного фильма, главную роль в котором исполнил Рассел Кроу. К сожалению, попытка объяснить в фильме концепцию равновесия Нэша оказалась неудачной. Мы расскажем о причинах в упражнении S13в данной главе, а также в упражнении S14в главе 7.

Однако обратите внимание, что сочетание стратегий «внизу», «посредине» с выигрышами 5, 5 не является равновесием Нэша. Если бы Строка выбрала вариант «внизу», лучший вариант выбора Столбца был бы не «посредине», а «справа». На самом деле вы можете проверить таким способом все остальные ячейки таблицы, чтобы убедиться, что ни одна из них не может быть равновесием Нэша.

В данной главе мы рассматриваем только равновесия Нэша в чистых стратегиях, а именно в изначально перечисленных в описании игры, а не в комбинации двух или более стратегий. Следовательно, в таком равновесии каждый игрок уверен в действиях других игроков, а значит, стратегическая неопределенность отсутствует. При рассмотрении равновесия в главе 7в смешанных стратегиях стратегическая неопределенность каждого игрока будет включать вероятности, с которыми различные стратегии используются в равновесных комбинациях стратегий других игроков.

Во многих других странах подобные игры ведутся с центральными банками, имеющими операционную независимость в выборе монетарной политики. В разных странах фискальную политику могут определять различные политические органы (исполнительные или законодательные).

Мы используем эти имена в надежде на то, что они помогут вам вспомнить, какой игрок выбирает строку («Ровена» от англ. row), а какой — столбец («Колин» от англ. column). Такой изобретательный способ обозначения игроков предложил Роберт Ауман, разделивший Нобелевскую премию с Томасом Шеллингом в 2005 году, идеи которого рассматриваются в главе 9.