Авинаш Диксит - Стратегические игры

В некоторых играх анализ наилучших ответов не позволяет найти равновесие Нэша, подобно тому как разрешимость по доминированию не всегда обеспечивает требуемый результат. Однако в данном случае мы можем сказать кое-что более конкретное, чем при неудачной попытке использовать доминирование. Когда анализ наилучших ответов в игре с дискретными стратегиями не обнаруживает равновесия Нэша, это означает, что в этой игре нет равновесия в чистых стратегиях. Мы рассмотрим игры такого типа в разделе 7данной главы, а в главе 5расширим область применения анализа наилучших ответов на игры, в которых стратегии представляют собой непрерывные переменные, например цены или расходы на рекламу. Кроме того, мы построим кривые наилучших ответов, что позволит нам находить равновесия Нэша, и увидим, что в подобных играх равновесие может отсутствовать с меньшей вероятностью в силу непрерывности выбора стратегий.

До сих пор мы анализировали только игры между двумя участниками. Однако все рассмотренные методы анализа применимы и для поиска равновесий Нэша в чистых стратегиях в любой игре с одновременными ходами с участием любого количества игроков. Когда в игре больше двух участников, каждому из которых доступно сравнительно небольшое количество чистых стратегий, анализ можно выполнить с помощью таблицы игры, подобно тому как мы это делали в первых четырех разделах данной главы.

В главе 3мы рассматривали игру с тремя участницами, каждая из которых имела по две чистые стратегии. Эмили, Нине и Талии предстояло решить, вносить ли вклад в создание декоративного сада на их маленькой улице. Мы предположили, что в случае вклада всех трех участниц игры сад будет не лучше, чем при вкладе двоих девушек, а вот если вклад сделает только одна участница, сад получится настолько скудным, что уж лучше его и не высаживать вовсе. Теперь допустим, что три участницы делают выбор одновременно, а разнообразие возможных исходов и выигрышей несколько богаче. В частности, размер и пышность сада будут зависеть от точного количества инвесторов: вклад трех участниц позволит разбить самый большой и красивый сад, двух — средний сад и одной — маленький.

Предположим, Эмили анализирует вероятные исходы игры «уличный сад». Ей предстоит оценить шесть возможных вариантов. Эмили может выбирать, вносить или не вносить вклад, если и Нина, и Талия внесут свой вклад или если ни одна из них этого не сделает либо сделает только одна. С точки зрения Эмили, лучший возможный исход с рейтингом 6 — воспользоваться добротой соседок и сделать так, чтобы Нина и Талия инвестировали в создание сада, а она сама — нет. Тогда Эмили могла бы наслаждаться средним садом, не вкладывая в него заработанные тяжелым трудом деньги. Если Нина и Талия вложат средства в сад и Эмили тоже, она сможет любоваться большим прекрасным садом, но ценой собственного вклада, поэтому она присваивает этому исходу рейтинг 5.

На другом конце диапазона находятся исходы, возникающие в случае отказа Нины и Талии инвестировать в сад. При таком раскладе Эмили снова предпочтет не вносить вклад, поскольку иначе все расходы на создание общественного сада, которым будут наслаждаться все, лягут на ее плечи; уж лучше она посадит цветы у себя во дворе. Таким образом, если другие участницы игры отказываются вкладывать средства в создание сада, Эмили присваивает рейтинг 1 исходу, при котором она вносит вклад, и рейтинг 2 исходу, при котором она этого не делает.

Между крайними случаями находятся ситуации, в которых кто-то один — либо Нина, либо Талия — вносит вклад, но не сразу обе. Когда одна из них это делает, Эмили знает, что сможет наслаждаться маленьким садом, не принимая участия в его создании. Кроме того, она считает, что цена ее вклада перевешивает то, что он позволит увеличить размер сада. Поэтому Эмили присваивает рейтинг 4 исходу, при котором она не вносит вклад, но получает возможность наслаждаться маленьким садом, и рейтинг 3 исходу, при котором вносит вклад, обеспечивая создание среднего сада. Поскольку Нина и Талия придерживаются аналогичных взглядов на затраты и преимущества, каждая из них составляет такой же рейтинг вероятных исходов игры, в котором самый худший — когда каждая участница инвестирует в создание сада, а две оставшиеся этого не делают, и т. д.

Если все трое решают, вносить ли вклад в создание сада, не зная о действиях соседок, перед нами — игра с одновременными ходами с тремя игроками. Для того чтобы найти в ней равновесие Нэша, необходимо составить таблицу игры. В случае игры с тремя участниками таблица должна быть трехмерной, а стратегии третьего игрока должны соответствовать третьему измерению. Самый простой способ его прибавить к двумерной таблице игры — добавить страницы. Первая страница таблицы отображает выигрыши для первой стратегии третьего игрока, вторая страница — выигрыши для второй стратегии третьего игрока и т. д.

Мы показываем трехмерную таблицу игры «уличный сад» на рис. 4.8. В ней две строки отведены для двух стратегий Эмили, два столбца — для двух стратегий Нины и две страницы — для двух стратегий Талии. Мы разместили эти страницы рядом, чтобы вы могли видеть все одновременно. В каждой ячейке выигрыши перечислены в следующем порядке: сначала выигрыш игрока строки, затем выигрыш игрока столбца, далее выигрыш игрока страницы, то есть в данном примере: Эмили, Нина, Талия.

Рис. 4.8.Игра «уличный сад»

Прежде всего мы должны определить, есть ли доминирующие стратегии у каждой из участниц. В таблицах игр из одной страницы это было достаточно просто: мы просто сравнивали исходы, связанные с одной из стратегий игрока, с исходами другой его стратегии. На практике в случае игрока строки такое сравнение требовало простой проверки данных в столбцах одной страницы таблицы и наоборот в случае игрока столбца. Сейчас же мы должны проверить данные на обеих страницах таблицы, чтобы определить, есть ли доминирующая стратегия у какой-либо из участниц игры.

В случае Эмили мы сравниваем две строки обеих страниц таблицы и видим, что если Талия внесет вклад, то доминирующая стратегия Эмили — не вносить вклад. Следовательно, для Эмили лучше не вносить вклад в создание сада независимо от решений остальных участниц игры. Точно так же мы видим, что доминирующая стратегия Нины (на обеих страницах таблицы) — не вносить вклад. А вот при поиске доминирующей стратегии у Талии нужно быть предельно внимательными. Мы должны сравнить исходы, которые поддерживают постоянство поведения Эмили и Нины, проанализировав выигрыши Талии в случае выбора стратегии «внести вклад» в сравнении с выигрышами от выбора стратегии «не вносить вклад». Иными словами, мы должны сравнить ячейки двух страниц таблицы: верхнюю левую ячейку первой страницы (слева) с верхней левой ячейкой второй страницы (справа) и т. д. Как и для первых двух участниц игры, этот процесс показывает, что доминирующая стратегия Талии — тоже не вносить вклад.