Виталий Сигорский - Математический аппарат инженера

а) X — множество студентов, Y - множество учебных дисциплин, xAy - «x изучает y»;

б) X - множество спортсменов, Y - рост в единицах длины, xAy - «x имеет рост y»;

в) X — множество компонентов электрической цепи, Y- множество узлов цепи, xAy - «x связан с y».

1. Матрица как таблица. Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

Такая таблица, состоящая из m строк и n столбцов, содержит mn клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер m × n и ее называют ( m × n )-матрицей . Позиция на пересечении i -й строки и j -го столбца называется ij -клеткой .

Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.

- 29 -

В общем обозначении элемента a ijпервый индекс i всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца. Элемент, расположенный в ij -клетке, называют ij -элементом .

Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, обозначающие матриц, набирают жирным шрифтом или снабжают какими-либо дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В при условии a ij= b ij(i = 1, 2, ... , n). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства.

Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (m × n)-матрица с элементами a ij= α ij+ iβ ij. Матрица A̅ того же размера с элементами a * ij= α ij+ iβ ijназывается комплексно-сопряженной с А.

Часто для упрощения нулевые элементы в таблицу не записывают, но при этом имеют в виду, что пустые клетки тоже содержат числа (нули).

Кроме приведенной выше клеточной записи, используют и другие способы представления матриц, например:

Матрицы впервые появились в середине прошлого столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными в математике и нашли широкое применение в физике, технике, экономике. Существенный вклад в разработку общей теории матриц и ее приложений внесли советские математики И. А. Лаппо-Данилевский, А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн.

2. Типы матриц. Матрица может иметь любое количество строк и столбцов (конечное или бесконечное). В дальнейшем при отсутствии оговорок будут рассматриваться конечные матрицы с числовыми элементами.

Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она соответственно называется столбцовой или строчной (употребляются также названия матрица-столбец и матрица-строка). В таких случаях достаточно отмечать элементы одним индексом:

- 30 -

Столбцевую и строчную матрицы называют также векторами и сокращенно обозначают как x = (x 1, x 2, ..., x n) y = (y 1, y 1, ..., y 1). Обычно из контекста ясно, идет ли речь о векторе-столбце или о векторе-строке. В противном случае используют приведенные выше обозначения.

Матрица, количество строк и столбцов которой одинаково и равно n, называется квадратной матрицей порядка n . Совокупность ii-клеток (i = 1, 2, ..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элемента которой вне главной диагонали равны нулю, т.е.

называется диагональной и более кратко записывается D = diag(d 1, d 2, ..., d n). Если в диагональной матрице d 1= d 2= ...= d n= 1, то имеем единичную матрицу n-го порядка

- 31 -

которая часто обозначается также через 1 nили просто цифрой 1 (не следует принимать это обозначение за число, равное единице).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер m × n, в то время как единичная матрица всегда квадратная. Матрица, состоящая только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом.

Квадратная матрица зазывается верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю:

Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А), так и нижней (В) треугольных матриц.

3. Сложение матриц. Сумма двух матриц А и В одинаковых размеров определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. C = A +B, если c ij= a ij+ b ij. Пример:

Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т.е. А+В = В+А, и ассоциативна, т.е. (А+В)+С = А+(В+С). Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица А не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т.е. А + 0 = А.

4. Умножение матрицы на число. По определению произведением матрицы А на число α (в отличие от матриц и векторов, числа часто называют скалярами ) является матрица С = αА, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы А на это число α, т.е. c ij= αa ij. Пример:

- 32 -

Очевидно, справедливы следующие соотношения: α(A + B) = αA +αB; (α + β)A = αA + βA; (αβ)A = α(βA), где A и B — матрицы одинакового размера; α и β — числа (скаляры). Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.

Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением A — B = A + (-I)B, т.е. C = A — B, если c ij= a ij— b ij.