Рафаель Роузен - Математика для гиков

Только недавно математикам удалось предложить другое решение. Расстояние, которое мы должны пройти до двери, может быть представлено как сходящийся ряд: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32… Математики показали, что, хотя этот ряд бесконечно длинный, он сходится к конечному числу: 1. На самом деле, понятие, что бесконечный ряд бесконечно маленьких частей сводится к конечному целому, формирует основу исчисления и позволяет вам вычислить площадь под кривой.

Теперь, когда пойдете к двери, вы можете оценить вековые математические рассуждения под ногами!

Используя эксперименты на основе квантовых свойств атомов, ученые могут заморозить атомы во времени с помощью квантового эффекта Зенона. Наблюдая за атомом определенное количество раз в течение определенного периода, ученые могут предотвратить его распад, в сущности запирая его в реальной версии апории Зенона о стреле. (В этом парадоксе Зенон просит нас представить, как стрела вылетает из лука. В любой конкретный момент стрела занимает пространство, равное ее длине. А так как любой временной отрезок состоит из серии мгновений, Зенон утверждает, что стрела всегда находится в состоянии покоя: она никогда не находится в движении.)

Время от времени находится какой-нибудь математик, который меняет ход истории. Одним из них был Клод Шеннон. В середине ХХ века Шеннон работал в Bell Labs (знаменитый исследовательский отдел AT&T), потом преподавал в Массачусетском технологическом институте. Он также был инженером по электронике и интересовался коммуникациями. Его исследование положило начало теории информации, благодаря которой появились цифровые компьютеры, Интернет и компакт-диски. Он также помог популяризировать термин «бит», что является сокращением от «двоичной цифры». Другими словами, Шеннон сделал будущее возможным.

Одна из идей пришла к Шеннону, когда он учился в магистратуре в Массачусетском технологическом институте. Он понял, что структура коммутационной схемы в аналоговых компьютерах и телефонных сетях напоминала структуру булевой алгебры (см. главу 3.19). В физическом смысле замкнутая цепь могла представлять логическое значение «истина», а открытая цепь – «ложь». В сущности, Шеннон понял, что можно записать работу логики в машине. Вы на самом деле можете решить проблему по логике и математике, используя переключатели и цепи. Это вылилось в магистерскую диссертацию Шеннона в 1938 году под названием «Символьный анализ реле и коммутаторов», теперь эту диссертацию называют самой важной диссертацией ХХ века.

Позднее, во время работы над взломом кодов во время Второй мировой войны, Шеннон заинтересовался дальней связью. Его мысли в конечном итоге переросли в книгу «Математическая теория связи», опубликованную в 1949 году. Шеннон изучал проблемы, присущие отправке сообщений на дальние расстояния по проводам, чем дальше было расстояние, тем сигнал становился все хуже и появлялось больше шума. Но путем преобразования информации в сообщении в основные единицы под названием «биты», состоящие из единиц и нулей, можно с легкостью восстановить сообщение на другом конце провода, так как единицы и нули очень легко отличить. А виды сообщений, которые можно передавать с помощью этих двух чисел, варьируются от видео до фотографий, от аудиофайлов до электронных писем: все, что можно передать через Интернет.

Шеннон также связал биты и понятие энтропии, которое для него указывает на количество информации в каждом конкретном сообщении. Вот его знаменитое уравнение:

Поэтому, когда в следующий раз будете отправлять письмо по электронной почте, подумайте о Клоде.

На техническом языке шифр – это четкий метод для кодирования информации. Примером является шифр замены, в котором одни буквы заменяются другими. В некоторых шифрах замены даже используются несколько алфавитов. В начале ХХ века электромеханические шифры, такие, как в немецкой машине «Энигма», означали, что машина, а не человек осуществляли эти замены.

Социальные сети на сегодняшний день являются большой частью общества. Велика вероятность того, что вы пользуетесь Twitter и Facebook, и возможно, Pinterest и Instagram. Еще со времен Friendster популярность социальных сетей сильно возросла. Но хотя соцсети имеют ряд преимуществ – они позволяют вам оставаться на связи с друзьями и знакомыми, – оказалось, что они снижают самооценку пользователей. Когда люди сидят на страницах друзей и видят фотографии на экзотических курортах, сообщения о повышениях и росте зарплаты или изображения новых машин и домов, они могут начать чувствовать себя неполноценными: почему их жизнь не такая хорошая, как жизнь их друзей?

Это явление – обобщенный случай так называемого парадокса дружбы. В 1991 году социолог Скотт Фельд изучал социальные сети, которые в те дни не включали в себя компьютеры и Интернет, и обнаружил, что в любой сети друзей у друзей человека А обычно будет больше друзей, чем у самого человека А. Другими словами, у ваших друзей всегда больше друзей, чем у вас. Но как такое возможно? Если вы мой друг, а я – ваш, то у каждого из нас есть друг. Кажется, что дружба таким образом сбалансирована.

Причиной парадокса является структура сети друзей. В любой сети несколько людей более популярны, чем все остальные; в среднем у них больше друзей, чем у остальных людей в этой сети. Следовательно, велика вероятность того, что если вы выберете любого человека из этой сети, то он будет дружить с одним из популярных людей. Ведь популярность подразумевает множество связей, и вы, вероятнее, будете дружить с тем, у кого 40 друзей, нежели с тем, у кого их 2. У вас больше шансов быть одним из 40, чем одним из 2. Но такой принцип применим к большинству людей в сети. Парадокс дружбы возникает из-за самой природы дружбы и небольших расчетов.

Как это все связано с социальными сетями? Ну, парадокс дружбы применяется не только к сетям, где люди сталкиваются лицом к лицу. Он еще применяется к электронным сетям. Поэтому, скорее всего, на ваших друзей в Twitter подписаны больше людей, чем на вас, и у большинства ваших друзей на Facebook больше друзей, чем у вас. А после недавнего исследования двух ученых парадокс дружбы зашел еще дальше: у ваших друзей не просто больше друзей, чем у вас, они еще и скорее всего богаче и счастливее вас. Ем Ен Хо из Университета Тулузы и Чо Хан Хен из Университета Аалто в Финляндии проанализировали сети ученых, в которых каждый ученый связывался с другим, если они вместе работали над исследованием. Ем и Чо обнаружили, что в каждой конкретной академической сети у связей ученого А было больше соавторов, чем у ученого А. Они также обнаружили, что у связей ученого А больше упоминаний и публикаций, чем у ученого А. Ем и Чо разработали математические характеристики такого вида сетей и узнали, что, если парадокс возникает в сети, он применяется к более чем одной характеристике – не просто к числу связей или упоминаний, – если эти характеристики отвечают определенным требованиям.