Рафаель Роузен - Математика для гиков

Помимо того что математика вовлечена в разработку таких больших приспособлений и в обработку всех сигналов, которые будут собирать антенные решетки Аллена, математика также внесла свой вклад в общую идею, стоящую за всем проектом. В 1961 году доктор Фрэнк Дрейк, один из основателей SETI, создал уравнение, которое охватывает все элементы, какие должны приниматься во внимание во время поиска внеземных цивилизаций, способных генерировать сигналы, которые мы можем обнаружить на Земле. Вот уравнение Дрейка:

Что касается элементов, вот их определения:

N – количество цивилизаций в Млечном Пути, генерирующих электромагнитное излучение, которое могут обнаружить люди;

R* – скорость формирования звезд, которые могут содержать разумную жизнь;

f p – доля этих звезд, которые имеют планетарные системы;

n e – количество планет вокруг каждой звезды, на которой есть жизнь;

f l – доля этих планет, на которых действительно есть жизнь;

f i – доля планет, на которых есть жизнь, на которой есть также разумная жизнь;

f c – доля цивилизаций, генерирующих сигналы, которые мы можем обнаружить;

L – длина времени, за которое эти цивилизации испускают эти сигналы в космос.

В этом случае использование языка математики помогает формулировать групповое мышление и прояснять параметры проекта.

Физик Энрико Ферми (1901–1954) интересовался внеземными цивилизациями, а также помог в развитии того, что сейчас известно как парадокс Ферми. Согласно вычислениям Ферми, внеземные существа должны были уже установить с нами контакт. А так как они этого не сделали, Ферми задал знаменитый вопрос: «Ну, и где они в таком случае?»

Есть ли что-нибудь интересное с математической точки зрения, скажем, в мире насекомых? Если это насекомое – периодическая цикада, то есть без сомнения. Это насекомое живет в лесах восточной части США и принадлежит к роду Magicicada, в который входит семь видов. Вы могли слышать их летом, когда они цепляются за стволы деревьев и ветки и жужжат, чтобы привлечь потенциальных партнеров.

Математически важным аспектом этих цикад является их необычный жизненный цикл. Большую часть жизни периодические цикады живут под землей, до достижения половозрелости, питаются ксилемой, жидкостью в деревьях, которая содержит питательные вещества. Но после определенного количества лет цикада выходит из почвы, сбрасывает свой экзоскелет и, как бабочка, превращается во взрослую особь с крыльями, которая готова к спариванию. Когда именно эти цикады выходят из-под земли, зависит от вида. Это знаменательное событие происходит каждые 13 или 17 лет. Но это не просто цифры: 13 и 17 являются простыми числами, которые делятся только на себя и на 1; другими примерами простых чисел являются 5 и 11 (см. главу 4.2).

Почему жизненный цикл цикад состоит из простых чисел? Некоторые ученые предполагают, что цикады разработали такой цикл для того, чтобы перехитрить хищников. Чтобы увидеть, как простые числа защитят цикад от хищников, представьте, что цикады выходили бы из-под земли каждые 6 лет. Так как 6 делится на 1, 2, 3 и 6, жизненный цикл любого животного, который содержал бы эти числа, мог совпасть с жизненным циклом цикад, оставляя каждое новое поколение цикад уязвимым к атакам. Но так как цикады появляются по расписанию, которое включает простые числа, то вероятность, что другое молодое животное выйдет на охоту за едой тогда, как новый выводок цикад достигает половозрелости, снижена. Периодические цикады в сущности могут использовать простые числа в качестве защитного механизма.

Цикады не являются единственными организмами, у которых график воспроизводства связан с хищниками. Японский бамбук, например, цветет только раз в 120 лет. Ученые предполагают, что такое длительное время нецветения развилось, чтобы грызуны, которые питаются семенами, умирали между цветениями, в сущности регулируя популяцию грызунов. И где бы вы ни посадили бамбук, он будет цвести раз в 120 лет как по часам.

Цифры, которые мы используем каждый день, настолько привычны, что иногда мы не ценим их определенные аспекты. Но если бы вы пригляделись к нашим цифрам, то вы бы начали замечать их особенности. Например, наши числа состоят лишь из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но почему нет специального числа для 10? Или 85? Или 3001?

Ответ кроется в том, что наши цифры используют десятичную систему счисления. В этой системе каждая позиция в цифре обозначает определенную степень десяти. Если 1, 2, 3 или любое другое число находится в этой позиции, мы умножаем это число на эту степень десяти. Приведем пример:

В этой цифре 2 стоит на первом месте справа. Это место единиц, или 10 0. Итак, мы умножаем 2 на 1. Следующая цифра левее – 4. Это десятки, или 10 1, поэтому мы умножаем 4 на 10. А 6 – это сотые, или 10 2, так что мы умножаем 6 на 100. Таким образом, цифра 642 обозначает (6 × 100) + (4 × 10) + (2 × 1), или шестьсот сорок два.

А есть ли другая система, которая использует не десятичную систему? Да, и на самом деле ее поддерживает каждый существующий компьютер! Это двоичная система, и, подобно десятичной, она основывается на позициях. Самая первая позиция справа – это 2 0, или позиция единиц. Следующая позиция левее – это 2 1, или позиция двоек. Дальше идут позиции четверок, восьмерок и так далее. Но, в отличие от десятичной системы, в двоичной системе есть только две цифры: 1 или 0. Итак, если бы мы захотели записать цифру 5 в двоичной системе, то у нас получилось бы:

Здесь 1 находится на позиции четверок, 0 – на позиции двоек и 1 – на позиции единиц; вместе они равны пяти. (Компьютеры используют двоичную систему прежде всего потому, что легче определять два состояния – 1 и 0, которые соответствуют включению и выключению, – чем десять.)

Нули и единицы можно использовать для кодирования букв. Двоичный код переводит каждую букву в уникальный ряд из восьми нулей и единиц. Вариации такого кода были изучены мыслителем XVI века Фрэнсисом Бэконом и математиком и философом Готфридом Лейбницем в XVII веке.