Рафаель Роузен - Математика для гиков

Без воздушных змеев весна и лето просто не были бы самими собой. Но их очарование выходит за рамки трепета управления куском материи во время легкого ветра. Традиционные американские воздушные змеи являются хорошим примером особого вида четырехугольника. Обычный воздушный змей имеет четыре стороны, как квадрат или прямоугольник. Но в отличие от этих двух фигур, стороны воздушного змея группируются друг с другом по длине. Поэтому две короткие стороны примыкают друг к другу так же, как и две длинные стороны. Именно такое расположение сторон придает воздушному змею эту отличительную форму вытянутого ромба.

Форма воздушного змея интересна также и тем, как множество змеев может быть сложено, чтобы покрыть плоскость (которая является идеализированной плоской поверхностью, как лист бумаги, не имеющий толщину). Вы можете взять любого воздушного змея с любым углом между сторонами и использовать его вместе с бесчисленным множеством идентичных змеев, чтобы полностью покрыть плоскость так, чтобы между отдельными фигурами не оставалось зазоров. Такое покрытие называется мозаичным размещением. (Представьте плитку в вашей ванной, тогда вы поймете, о чем идет речь.) Воздушные змеи играют роль и в мозаике Пенроуза – особом виде разбиения плоскости, где отдельные детали формируют узоры, которые не повторяются в обычном порядке.

Форма воздушного змея также определяет свои идеальные летные условия. Воздушные змеи в форме ромба лучше всего летают во время легкого ветра, но им нужен хвост для устойчивости. Треугольные змеи могут летать в практически безветренную погоду. А шестисторонние змеи, которые появились в Японии сотни лет назад, очень маневренны, их обычно используют в соревнованиях. (Если вы заставите упасть воздушного змея противника, то вы выиграли!)

Существует два способа узнать площадь воздушного змея. Если вы знаете длину двух диагоналей, тогда вы можете умножить эти длины и разделить результат на 2. Или если вы знаете длину короткой и длинной стороны, а также градус угла между ними, тогда вы можете воспользоваться тригонометрией: умножьте длину короткой стороны на длинную, а потом умножьте результат на синус угла.

Не все трехмерные фигуры созданы равными. Подумайте о тех фигурах, которые существуют или могли бы существовать. Некоторые, как форма картофелины, бугорчатые и неровные. Другие, как звезда, аккуратные, с прямыми линиями. Шары гладкие и круглые, а фигурки в тетрисе имеют острые углы.

Однако некоторые фигуры особенные. Они обладают характеристиками, которые изучались тысячелетиями. Такая историческая группа включает в себя платоновы тела. Эти трехмерные фигуры названы в честь философа, который жил в Афинах в 400-х годах до н. э., они построены с помощью двухмерных фигур, таких, как квадраты, треугольники или пятиугольники. Но двухмерные фигуры должны соответствовать некоторым условиям, чтобы быть способными превратиться в платоново тело.

1. Во-первых, они должны быть правильными, то есть все их линии должны быть одной длины и все углы должны находиться под одинаковым градусом.

2. Во-вторых, они должны совпадать, то есть быть идентичными. Если вы положите одну фигуру на другую, то они должны полностью совпасть по размеру. (Другими словами, вы не сможете сделать платоново тело из треугольников разного размера.)

3. В-третьих, в каждой вершине – место на каждой фигуре, где соединяются линии, – должно быть одинаковое количество фигур.

Существуют пять и только пять платоновых тел.

1. Тетраэдр имеет четыре стороны, все они являются треугольниками.

2. Гексаэдр, или куб, состоит из шести квадратов.

3. Октаэдр имеет восемь сторон и выглядит как две пирамиды, соединенные основаниями. (Как и у тетраэдра, все стороны октаэдра являются треугольниками.)

4. Додекаэдр имеет двенадцать сторон, каждая сторона представляет собой пятиугольник.

5. Икосаэдр имеет двадцать сторон, каждая из которых является треугольником.

А если вы задумались, почему существует только пять платоновых тел, то у Евклида – древнегреческого математика – есть ответ на этот вопрос. Он нашел доказательство и включил его в Книгу 13 в его «Началах». Найдите этот труд, если вам интересно.

Но эти фигуры считались не просто математическими загадками. В своем диалоге «Тимей» Платон, греческий философ, утверждает (от лица одного из персонажей), что каждое тело соответствует одному элементу природы. Тетраэдр ассоциировался с огнем, куб – с землей, октаэдр – с воздухом, икосаэдр – с водой, а додекаэдр – с расположением созвездий в небе.

Сотни лет спустя, в конце 1500-х, Иоганн Кеплер использовал платоновы тела, чтобы объяснить структуру Солнечной системы. Он хотел понять, почему планеты расположены так, как они расположены. Кеплер сопоставил орбитам (которые он представил как круг) планет платоновы тела. Начиная с внутренней части Солнечной системы, порядок платоновых тел начинался с октаэдра, который соответствовал Меркурию, затем шли икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и куб. (Согласно Кеплеру, существовали лишь пять планет.)

И хотя объяснения Кеплера оказались неверными, один факт остался неоспоримым: платоновы тела действительно являются частью природы. Например:

• Многие минеральные кристаллы принимают форму кубов, включая столовую соль (хлористый натрий); если бы вы прошлись по берегу Мертвого моря, то обязательно наступили бы на большие кубы соли, которые прибило к берегу из глубин моря.

• Алмазы и плавик часто образуют кристаллы в форме октаэдров.

• Такие вирусы, как герпес, часто имеют форму икосаэдров.

• Атомы часто образуют связи в форме тетраэдра. Молекулы метана и ионы аммония состоят из четырех атомов водорода в форме тетраэдра в окружении атома углерода или азота.

Платоновы тела – это не просто что-то, записанное в древнегреческих трудах, они в буквальном смысле летают в воздухе, которым мы дышим, и находятся в земле, по которой мы ходим.