Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

Десять одинаковых металлических шаров лежат на одной прямой. Первый шар заряжен электрическим зарядом, его толкают кием, и последовательно сталкиваются: первый – второй, второй – третий, третий – четвертый, …, девятый – десятый. Как относятся заряды на десятом и на первом шарах?

1. 1: 1.

2. 1: 256.

3. 1: 1024.

Когда два шара соприкасаются, их заряды уравниваются, ничего другого быть не может хотя бы из соображений симметрии. Пусть заряд первого был Q , после столкновения со вторым у него осталось Q /2. У второго и третьего после их столкновения – по Q /4, у третьего и четвертого по Q /8 и т. д. Значит, на n -м столкновении у ( n + 1) – го шара – заряд Q /2 n. Всего таких столкновений, очевидно, девять. То есть у десятого шара заряд Q /2 9. Делим это число на заряд первого шара – а он теперь Q /2! – и получаем 1/2 8= 1/256.

На космическом корабле (массой 1 т) сломался двигатель. Капитан принимает решение раскрыть солнечный парус (благо, им нужно лететь как раз в сторону от Солнца), представляющий собой квадрат со стороной 30 м. Принимая, что мощность солнечного света в том месте 100 Вт/м², прикинем, через какое время корабль выйдет на вторую космическую скорость (11,2 км/с).

1. Через 7 часов.

2. Через неделю.

3. Через 2 года 3 месяца и 8 дней.

Корабль движется с постоянной мощностью M , создаваемой солнечным парусом, – M = 1000 м² × 100 Вт/м² = 105 Вт. Мощность – это скорость изменения энергии корабля, а его энергия – это mv ²/2. С учетом того, что мощность постоянна, получаем mv ²/2 = Mt (считаем, что в момент поломки двигателя скорость корабля равнялась нулю). Выражая отсюда время, выводим t = mv ²/2 M . Подставляя значения массы, скорости и мощности, нетрудно получить время: 1000 кг × (11,2 × 10³ м/с)²/2 × 10 5Вт ~ 627 200 секунд, или 174 часа, или семь с хвостиком дней. Неплохо для скромного паруса 30 × 30 м, а если б он был 100 × 100 – в сутки бы уложились!

Когда Архимеду приносили золото, он быстро выявлял, фальшивое оно или настоящее. Действовал он просто: фальшивое золото представляло собой сплав золота с медью, значит, плотность его была меньше плотности чистого золота (медь же легче золота). Архимед взвешивал драгметалл, потом измерял его объем (в ванной, по известному архимедовскому методу) – и быстро исчислял плотность. А вот если б ему поднесли сплав золота, меди и урана (по плотности равный золоту – этого несложно добиться, учитывая, что уран тяжелее золота) – справился бы он?

1. Еще б, это ж Архимед! Что-нибудь да придумал бы.

2. Обработав сплав кислотой, выделил бы золото и убедился, что это фальшивка.

3. Нет.

Сложно утверждать доподлинно, мало ли чего Архимед бы там выдумал, но, скорее всего, он бы обманулся. Дело в том, что самый простой способ убедиться, что этот сплав не золото, – это измерить излучаемую им радиацию. Все природные изотопы золота стабильны, а все изотопы урана – радиоактивны, излучает – значит, не золото. Но во времена Архимеда не то что методы измерения радиации, само понятие это было неизвестно (правда, уже начинали догадываться об атомах – но были в самом начале пути). Так что пришелец из нашего времени, наподобие марк-твеновского янки из Коннектикута, вполне бы смог надуть старика.

Волны на воде имеют разную скорость: чем она длиннее (чем больше расстояние между пиками волн), тем больше ее скорость. Поэтому волне очень трудно сохранить свою форму: длинные волны догоняют короткие, они складываются, образуется крутой фронт – и падают под своей тяжестью. Как же тогда объяснить солитоны – волны с одним горбом, распространяющиеся без изменения формы?

1. Длина волны у солитона одна, значит, скорость распространения всех его кусочков одинакова – вот он и не меняется.

2. Учтем все факторы: подводные и наводные течения, ветер, рельеф дна – и тогда получим, что существование солитонов возможно.

3. Нелинейщина: скорость волны зависит не только от ее длины, но и от амплитуды, при определенном подборе амплитуд и длин разных волн можно добиться, чтобы у них была одинаковая скорость.

Действительно, если бы скорость волны зависела только от ее длины, солитоны были бы немыслимы: представляя собой совокупность волн с разной длиной волны, они бы быстро распадались – все волны двигались бы с разной скоростью и тем самым не могли бы двигаться как целое. Но волны в воде нелинейны, и скорость их движения зависит не только от длины волны, но и от амплитуды: можно взять две волны, отличающиеся по амплитуде и по длине, у которых будет тем не менее одинаковая скорость. Вот почему солитоны все-таки существуют.

«Всего опаснее были ясные, звездные ночи, когда все затихало и на реке не было волн. Река точно засыпала, и холод старался сковать ее льдом сонную. Так и случилось. Была тихая-тихая звездная ночь. ‹…› Бурлившая днем горная река присмирела, и к ней тихо-тихо подкрался холод, крепко-крепко обнял гордую, непокорную красавицу и точно прикрыл ее зеркальным стеклом. Серая Шейка была в отчаянии, потому что не замерзла только самая середина реки, где образовалась широкая полынья» ( Д. Н. Мамин-Сибиряк. «Серая Шейка» ).

Почему водоемы застывают в тихую погоду?

1. Сочиняет Мамин-Сибиряк, в любую погоду – лишь бы было похолоднее.

2. Вода в реке – переохлажденная жидкость. Чтобы она кристаллизовалась, наоборот, нужно ее встряхивать поэнергичнее.

3. Температура воды выше точки замерзания, перемешивание заставит растаять образующийся лед.

Известно, что крупные водоемы редко промерзают до дна. О чем это говорит? О том, что они хранят изрядный запас тепла, а еще подпитываются теплом от Земли. При прочих равных, если перемешивать воду в водоеме, лед образоваться не сможет – она всегда будет теплее, чем нужно для замерзания. Это как если постоянно помешивать кипящее молоко, в нем никогда не образуется пенка.