Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

Не самый сильный человек при помощи системы блоков хочет поднять груз весом 2,5 т. При этом, трезво оценивая свои силы, он хотел бы приложить усилие в количестве не более 20 кг – больше ему не выдержать. Какое минимальное число блоков ему потребуется?

1. 8.

2. 32.

3. 125.

Применение блоков, как известно, позволяет с меньшими усилиями поднимать большие грузы. Насколько меньшими? Давайте посчитаем. Берем самую простую систему – двухблочную (см. рисунок – представьте, что там только два блока, неподвижный, прибитый к балке и свободный второй). Сдвинем веревку на l , насколько поднимется груз? Очевидно, на l /2. Работа по подъему груза есть F 1 l = F 2 l /2 (последнее равенство – просто одна из форм записи закона сохранения энергии; здесь F 1 – сила, которую прикладывает человек, F 2 – сила, с которой притягивается к земле груз, т. е. попросту вес груза). Сократив обе стороны равенства на l , получим F 1= F 2/2. Рассмотрим теперь систему из трех блоков. Рассуждая аналогичным образом, выводим F 1= F 2/4 и, обобщая на случай n блоков, – F 1= F 2/2 n−1. Или, переписав эту формулу, 2 n−1= F 2/ F 1= 2500/20 = 125. Вспоминая, что 128 = 2 7, а 125 – это почти 128, находим n – 1 = 7, n = 8 – восьми блоков будет достаточно, чтобы поднять груз массой 2,5 т, приложив усилие в 20 кг (и даже немножечко меньшее).

– Але, граждане! У нас авария на подстанции, давления не будет до вечера! – буркнул водопроводчик и повесил трубку.

Дело было в многоквартирном 10-этажном доме, зимой, при ощутимом морозе. Если на нижних этажах еще была вода, то начиная с пятого из открытых кранов уже ничего не текло. Жители перепугались, что сейчас у них все вымерзнет, батареи от холода лопнут, – в общем, стали готовиться к глобальной катастрофе. Однако ничего такого не случилось, батареи грели, как и прежде, вплоть до самого вечера, когда с аварией справились. Как такое возможно?

1. В замкнутом контуре отопления движение воды возможно и при низком давлении, а вот по водопроводу воду без давления не поднять.

2. Авария касалась только водопровода, система отопления не была с ним связана.

3. Батареям хватило до вечера утреннего запаса тепла.

Нет, конечно, можно предположить, что системы водо– и теплоснабжения в этом доме независимы, но в подавляющем большинстве случаев это не так, почти всегда это одна и та же система, так что будем из этого исходить. Почему не текла вода из кранов верхних этажей? Известно, что давление воды падает на 1 атм при повышении уровня на 10 м. Пятый этаж – это где-то метров 20, т. е. давление в трубе было где-то на уровне 2 атм – его еще хватало поднять воду до четвертого, но выше уже никак. Это потому, что водопроводный контур – открытый: поднимаем воду до уровня крана, из которого она вытекает свободно. Иное дело – контур тепловой: он замкнутый. Подняв столб воды на высоту h , мы одновременно такой же столб воды с такой же высоты спустили – т. е. здесь работы почти не совершается, баланс энергии практически нулевой. Соответственно, движение воды по такому контуру возможно даже при очень небольшом давлении. Схожий эффект многие могли наблюдать при сливании бензина из бензобака через трубочку: главное – запустить ток жидкости (говорят «отсосать бензин») и держать выпускное отверстие ниже уровня топлива в баке, и тогда оно может вытечь хоть все, притом что сначала ему нужно подняться по трубке на ощутимую высоту.

Артиллерийский расчет после долгих вычислений и пристреливаний производит залп по намеченной цели, в которую на сей раз они – уж будьте покойны, ваше благородие! – совершенно точно попадут. Расстояние до цели L , снаряд стартует под углом 45° к поверхности земли – «Готовьсь. Цельсь. Пли!». Но вот же незадача: в самой верхней точке своей траектории снаряд разрывается ровно надвое, причем одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле, а вторая продолжает полет в том же направлении, что и раньше, т. е. параллельно поверхности земли. Удастся ли этой второй, более удачливой половине поразить цель и куда вообще она упадет?

1. Нетрудно посчитать, что она перелетит цель и упадет на расстоянии 3/2 L от орудия.

2. А у задачи вообще есть решение?

3. Поскольку импульс снаряда после разделения на две части не поменялся, то не изменится и траектория – упадет туда, куда и было задумано.

Формально, решение элементарно: импульс снаряда перед разрывом и после один и тот же (обозначим его p 0), при этом речь о наивысшей точке – т. е. направление импульса в этот момент параллельно поверхности земли. Одна половинка полетела строго вниз, значит, импульса вдоль поверхности земли у нее вообще нет – по закону сохранения импульса он весь остался на второй половинке, полетевшей горизонтально. Импульс у нее p 0, масса вдвое меньше первоначальной – соответственно, скорость вдвое выше, чем была. Время спуска у нее такое же, как у неразорвавшегося снаряда (определяется предельной высотой и ускорением свободного падения g , – получается, пролетит она вдвое дальше. То есть в составе снаряда пролетела L /2, а отдельно пролетит еще 2 × L /2 – всего, выходит, 3/2 L .

Но обратите внимание на условие: «одна половина стремительно, строго вертикально идет к земле» – следовательно, у первой половины снаряда появляется вертикальная компонента импульса. А у второй – нет (продолжает лететь параллельно земле). Притом что до разрыва они летели вровень с землей, значит, если одна помчалась вниз, другая с неизбежностью должна подскочить вверх – иначе никакой закон сохранения импульса не выполняется. В результате имеем некорректно поставленную задачу, без решения.

В магазине – акция: «Купи две вещи, получи третью в подарок!», и мелким шрифтом приписано: «В подарок по акции предназначена вещь наименьшей стоимости из трех». Уже на кассе жена меня спрашивает: