Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

- Почему медлят с этим делом?! - гневно воскликнул царь. - Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Рис. 69. Сета стал дожидаться у ворот…

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

- Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли наконец Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. - Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…

- Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

Рис. 70. Математики трудятся без устали…

Рис. 71. «Прикажи превратить земные царства в пахотные поля…»

Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам старца.

- Назови же мне это чудовищное число, - сказал он в раздумье.

- О повелитель!

Восемнадцать квинтиллионов

четыреста сорок шесть квадриллионов

семьсот сорок четыре триллиона

семьдесят три биллиона [12] 1 биллион (или миллиард) составляет тысячу миллионов, 1 триллион – миллион миллионов, 1 квадриллион – миллион биллионов (миллиардов), 1 квинтиллион – миллион триллионов. – Прим. ред.

семьсот девять миллионов

пятьсот пятьдесят одна тысяча

шестьсот пятнадцать зерен!

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом. Начав с единицы, нужно сложить числа 1, 2, 4,

8 и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски. Поступая, как объяснено в задаче 54 (пункте III), мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64-х двоек:

2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 и т. д. 64 раза.

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек.

Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек - 16. Значит, искомый результат равен

1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 1024 х 16.

Перемножив 1024 х 1024, получим 1 048 576.

Теперь остается найти

1 048576 х 1 048 576 х 1 048 576 х 16,

отнять от результата одну единицу - и нам станет известно искомое число зерен:

18 446 744 073 709 551 615.

Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км, т. е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!…

Рис. 72. Амбар простирался бы на 30 миллионов километров

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу. В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей [13] 1 четверть – русская мера объема сыпучих тел равна двум осьминам, или 209,91 л (1 л составляет 1 куб. дм, или 0,001 куб. м). Таким образом, в полгода Сета отсчитал бы всего около 1050 литров зерна пшеницы. – Прим. ред. . Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды…

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит круглым числом 3000 зернышек.

Что отсюда следует? То, что, будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!

Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее

3000 х 3000 = 9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать

9 000 000 х 3000 = 27 000 000 000.

А на четвертый год -

27 000 000 000 х 3000 = 81 000 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000,

поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, т. е.

135 000 000 000 000 кв. м, -

это примерно в 2000 раз меньше, чем выросло бы экземпляров мака.

Вы видите, что, если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!