Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки

У меня получилось такое число [19] Читателю уже знакомо это число: оно определяет награду, затребованную изобретателем шахматной игры. :

18 446 744 073 709 551 615. Брат, значит, был прав.

Вам, вероятно, интересно было бы знать, какими числами в действительности определяется возраст мира. Ученые располагают на этот счет некоторыми, конечно, лишь приблизительными данными:

Солнце существует…10 000 000 000 000 лет

Земной шар…2 000 000 000»

Жизнь на Земле… 300 000 000»

Человек…300 000»

В столовой дома отдыха за обедом зашла речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вынул монету и сказал:

- Кидаю на стол монету не глядя. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх?

- Объясните сначала, что значит «вероятность», - раздались голоса. - Не всем ясно.

Рис. 87. Монета может лечь на стол двояко

- О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко: вот так - гербом вверх и вот так - гербом вниз. Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай. Теперь находим отношение

Дробь 1/ 2и выражает «вероятность» того, что монета упадет гербом вверх.

- С монетой-то просто, - вмешался кто-то. - А вы рассмотрите случай посложней, с игральной костью например.

- Давайте рассмотрим, - согласился математик. - У нас игральная кость, кубик с цифрами на гранях. Какова вероятность, что брошенный кубик упадет определенной цифрой вверх, скажем, вскроется шестеркой? Сколько здесь всех возможных случаев? Кубик может лечь на любую из своих шести граней; значит, возможно всего 6 случаев. Из них благоприятен нам только один: когда вверху шестерка. Итак, вероятность получится от деления 1 на 6. Короче говоря, она выражается дробью 1/ 6.

- Неужели можно вычислить вероятность во всех случаях? - спросила одна из отдыхающих. - Возьмите такой пример. Я загадала, что первый прохожий, которого мы увидим из окна столовой, будет мужчина. Какова вероятность, что я отгадала?

- Вероятность, очевидно, равна половине, если только мы условимся и годовалого мальчика считать за мужчину. Число мужчин на свете равно числу женщин.

- А какова вероятность, что первые двое прохожих окажутся оба мужчинами? - спросил один из отдыхающих.

- Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих - женщины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай - первый. Получаем для вероятности дробь 1/ 4. Вот ваша задача и решена.

- Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчинами?

- Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для двоих прохожих число всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением третьего прохожего число возможных случаев увеличивается вдвое, потому что к каждой из четырех перечисленных группировок двух прохожих может присоединиться либо мужчина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь 4 х 2 = 8. А искомая вероятность, очевидно, равна 1/ 8, потому что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить правило подсчета:

в случае двух прохожих мы имели вероятность

в случае трех -

Рис. 88. Игральная кость

в случае четырех - вероятность равна произведению четырех половинок и т. д.

Вероятность все уменьшается, как видите.

- Чему же она равна, например, для десятка прохожих?

- То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все кряду окажутся мужчинами? Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это - 1/ 1024, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь об заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет,

- Выгодное пари, - заявил чей-то голос. - Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.

- Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.

- Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.

- А вы представляете себе, как мала вероятность такого события? - спросил математик.

- Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?

- Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка я прикину на бумажке. Миллиардная… Триллионная… Квадриллионная… Ого! Вероятность равна единице, деленной на единицу с тридцатью нулями!

- Только и всего?

- Вам мало 30 нулей? Вы знаете, что в океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек?

- Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моей копейки?

- Ха-ха!… Все! Все, что у меня есть.

- Все - это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?

- Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.

- И я не рискую. Невелика сумма копейка. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.

- Да поймите же, что вы проиграете наверняка! Велосипед никогда не достанется, а копейка ваша, можно сказать, уже в моем кармане.

- Что вы делаете! - удерживал математика приятель. - Из-за копейки рискуете велосипедом. Безумие!

- Напротив, - ответил математик, - безумие ставить хотя бы одну копейку при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уж лучше прямо выбросить копейку.

- Но один-то шанс все же имеется?

- Одна капля в целом океане. В десяти океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной капельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два - четыре.

- Увлекаетесь, молодой человек, - раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор. - Увлекаетесь…

- Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?

- Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере… Впрочем, - сказал старик, прислушиваясь, - сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?