Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Что такое точка? Как мы узнаем, тождественны ли две точки пространства или различны? Или, другими словами, что значит, когда я говорю: «предмет A находился в момент α в точке, в которой находится предмет B в момент β».

Такова проблема, которую мы поставили перед собой в предыдущей главе, параграф 4. Как я уже выяснил, речь идет не о сравнении положений предметов A и B в абсолютном пространстве; в последнем случае вопрос, очевидно, не имел бы никакого смысла; речь идет о сравнении положений этих двух предметов относительно осей, неизменно связанных с моим телом? при этом всегда предполагается, что это тело приведено в одну и ту же позу.

Я предполагаю, что между моментами α и β я не двигал ни своего тела, ни своего глаза, о чем мне дает знать мое мускульное чувство. Я не двигал также ни головой, ни рукой, ни кистью. Я устанавливаю, что в момент α впечатления, которые приписывались мною предмету A , сообщались мне: иные – одним из волокон моего зрительного нерва, иные – одним из нервов моего пальца, передающих чувство осязания; я устанавливаю, что в момент β мне сообщились другие впечатления, которые я приписываю предмету B , одни – тем же самым волокном зрительного нерва, другие – тем же самым осязательным нервом.

Здесь мне необходимо остановиться для пояснения; откуда я узнал, что впечатление, которое я приписываю A , и впечатление, которое я приписываю В , – впечатления качественно различные – передаются мне одним и тем же нервом?

Следует ли предполагать – если взять, например, зрительные ощущения, – что A производит два одновременных ощущения, одно чисто световое a и другое цветовое a’ что B производит также одновременно световое ощущение b и цветовое b’ , что если эти различные ощущения передаются мне одним и тем же волокном сетчатки, то a тождественно с b , но что вообще цветовые ощущения a’ и b’ , произведенные различными телами, различны? В этом случае тождество ощущения а , сопровождающего a’ с ощущением b , сопровождающим b’ именно и свидетельствовало бы о том, что все эти ощущения переданы мне одним и тем же волокном.

Какова бы ни была эта гипотеза, – и хотя я склонен предпочесть ей другие, значительно более сложные, – достоверно, что мы каким-то образом узнаем, что есть нечто общее между этими ощущениями а + а’ и b + b’ , без чего у нас не было бы никаких средств узнать, что предмет B занял место предмета А .

Итак, я, не останавливаясь больше на этом, возвращаюсь к только что сделанному предположению: пусть я констатировал, что впечатления, которые я приписываю В, передаются мне в момент β теми же самыми зрительными и осязательными нервами, которыми в момент α были переданы мне впечатления, приписанные мною А . Если это так, то мы, не колеблясь, признаем, что точка нахождения B в момент β тождественна с точкой нахождения A в момент α.

Я только что высказал два условия тождественности этих точек: одно относится к зрению, другое – к осязанию. Рассмотрим их в отдельности. Первое условие необходимо, но не достаточно. Второе – сразу и необходимо и достаточно. Всякий, кто знаком с геометрией, легко истолковал бы это следующим образом. Пусть О – точка сетчатки, где в момент α образуется изображение тела A ; пусть M – точка пространства, занимаемая этим телом A в момент α; пусть W – точка пространства, занимаемая телом B в момент β. Для того чтобы это тело B образовало свое изображение в О , не необходимо, чтобы точки M и М’ совпадали: так как зрение действует на расстоянии, то достаточно, чтобы три точки О, M, М’ , лежали на прямой линии. Поэтому условие, чтобы два предмета давали свое изображение в О , есть необходимое, но не достаточное для того, чтобы точки M и М’ совпадали. Пусть теперь P есть точка, занимаемая моим пальцем, и пусть палец остается в ней неподвижным. Так как осязание не может действовать на расстоянии, то если тело A касается моего пальца в момент α, это значит, что M и P совпадают; если B касается моего пальца в момент β, это значит, что М’ и P совпадают. Следовательно, совпадают M и М’ . Поэтому-то условие, что если A касается моего пальца в момент α, то B касается его в момент β, является одновременно необходимым и достаточным для того, чтобы M и М’ совпадали.

Но раз мы еще не знакомы с геометрией, мы не можем рассуждать так; мы можем только констатировать опытным путем, что может быть выполнено первое условие, относящееся к зрению, без выполнения второго условия, относящегося к осязанию, но что второе условие не может быть выполнено без того, чтобы не было выполнено первое.

Предположим, что опыт научил бы нас противоположному. Это возможно, и в этом предположении нет ничего нелепого. Итак, пусть мы констатировали опытным путем, что условие, относящееся к осязанию, может быть выполнено, хотя не выполнено условие зрения, и что, напротив, условие зрения не может быть выполнено без того, чтобы не было выполнено условие осязания. Ясно, что если бы это было так, то мы пришли бы к заключению, что осязание может действовать на расстоянии, а зрение на расстоянии не действует.

Но это не все; до сих пор я предполагал, что для определения места предмета я пользуюсь только глазом и одним пальцем; но совершенно так же я мог бы воспользоваться и другими средствами, например всеми другими моими пальцами.

Я предполагаю, что мой первый палец получает в момент α осязательное впечатление, которое я приписываю предмету A . Я делаю ряд движений, соответствующий ряду мускульных ощущений S . Следом за этими движениями в момент α’ мой второй палец получает осязательное впечатление, которое я приписываю также A . Потом в момент β, в то время как я остаюсь неподвижным, о чем мне дает знать мое мускульное чувство, тот же самый второй палец опять передает мне осязательное впечатление, которое я приписываю на этот раз предмету B ; затем я делаю ряд движений, соответствующий ряду мускульных ощущений S’ . Я знаю, что этот ряд S’ есть обратный ряду S и соответствует противоположным движениям. Я знаю это потому, что многократные прежние опыты часто показывали мне, что если я последовательно делаю два ряда движений, соответствующие S и S’ , то первоначальные впечатления восстанавливаются, т. е. два ряда взаимно компенсируются. Если так, то должен ли я надеяться, что в момент β ’ , когда окончится второй ряд движений, мой первый палец получит осязательное впечатление, приписываемое предмету B ?