Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Писатели, украшающие язык и относящиеся к нему как к объекту искусства, этим самым делают из него орудие более гибкое, более приспособленное для передачи всех оттенков мысли. Так и аналитик, преследующий чисто эстетические цели, содействует созиданию языка, более приспособленного к тому, чтобы удовлетворить физика.

Это еще не все. Закон вытекает из опыта, но он следует из него не непосредственно. Опыт индивидуален, а закон, который из него извлекается, имеет характер общности. Опыт бывает только приближенным; закон является точным или, по крайней мере, имеет притязание на точность. Опыт всегда осуществляется в сложных условиях – формулировка закона исключает их; это называется «исправлением систематических погрешностей». Словом, чтобы вывести закон из опыта, необходимо обобщать; этой необходимости подчиняется даже наиболее осмотрительный наблюдатель.

Но каким образом строить эти обобщения? Каждая частная истина, очевидно, может быть широко истолкована бесчисленным множеством способов. Из тысячи путей, открывающихся перед нами, необходимо сделать выбор, по крайней мере предварительный; кто будет руководить нами в этом выборе?

Этим руководителем может быть только аналогия. Но как неопределенно это слово! Человек с примитивным мировоззрением знает только грубые аналогии, действующие на чувства, аналогии в красках и звуках. Он не стал бы думать, например, об установлении связи между светом и лучистой теплотой.

Но кто же научил нас познанию истинных, глубоких аналогий – таких, которых не видит глаз, но которые отгадывает разум?

Этому научил нас математический ум, который пренебрегает содержанием, чтобы иметь дело только с чистой формой. Это он научил нас называть одним и тем же именем все сущности, отличающиеся только своим содержанием; он научил нас называть одним именем, например, умножение кватернионов и умножение целых чисел.

Если бы кватернионы, о которых я только что упомянул, не нашли столь скорого применения у английских физиков, многие, без сомнения, увидели бы в них только праздное мечтание; но все же они, научая нас сближать то, что по внешнему виду так различно, сделали нас более способными проникать в тайны природы.

Таковы услуги, которых физик должен ожидать от анализа. Но для того, чтобы эта наука могла их ему оказать, ей необходимо развиваться самым широким образом, без непосредственной заботы о пользе; необходимо, чтобы математик работал как артист. Мы обращаемся к нему только с одной просьбой – помочь нашему зрению, помочь нам отыскать путь в развертывающемся перед нами лабиринте. Но всего лучше видит тот, кто поднялся всех выше. Примеров множество; я ограничусь только наиболее разительными.

Первый пример покажет нам, как бывает достаточно изменить язык, чтобы заметить обобщения, которых раньше никто не подозревал.

В то время, когда закон Ньютона заменил закон Кеплера, было известно только эллиптическое движение. По отношению к этому движению оба закона разнятся между собой только по форме; можно перейти от одного к другому простым дифференцированием.

Но между тем из закона Ньютона можно путем непосредственного обобщения вывести все эффекты возмущений и всю небесную механику. Напротив, если бы сохранился способ выражения, данный Кеплером, то никто не стал бы рассматривать возмущенные орбиты планет – эти сложные кривые линии, для которых никто никогда не писал уравнения, – как естественные обобщения эллипса. Весь прогресс наблюдений послужил бы только усилению веры в хаос.

Второй пример также заслуживает подробного размышления.

В то время, когда Максвелл начал свои труды, законы электродинамики, принятые до него, объясняли все известные явления. Он приступил к работе не потому, чтобы какой-либо новый опыт ограничил значение этих законов. Но рассматривая их под новым углом зрения, Максвелл увидел, что уравнения становятся более симметричными, если в них ввести некоторый член, хотя, с другой стороны, этот член был слишком мал, чтобы вызвать явления, которые могли бы быть оценены прежними методами.

Известно, что априорные взгляды Максвелла ждали своего экспериментального подтверждения в течение двадцати лет; если вам больше нравится другое выражение, – Максвелл опередил опыт на двадцать лет. Как он достиг этого триумфа?

Это произошло благодаря тому, что Максвелл был глубоко проникнут чувством математической симметрии; могло ли это быть, если бы до него другие не искали этой симметрии ради ее собственной красоты?

Это произошло благодаря тому, что Максвелл привык «мыслить векторами». Но векторы вошли в анализ через посредство теории мнимых величин. А те, кто изобрел мнимые величины, нисколько и не подозревали, что ими воспользуются для изучения реального мира: на это указывает достаточно ясно самое название этих величин.

Максвелл, быть может, и не был искусным аналитиком, но эта опытность была бы для него бесполезным и стеснительным бременем. Зато он в высшей степени обладал внутренним чувством математических аналогий. Вот почему он стал хорошим математическим физиком.

Пример Максвелла учит нас еще и другому.

Как следует нам обращаться с уравнениями математической физики? Должны ли мы просто выводить из них все следствия и рассматривать их как неощущаемые реальности? Нет, далеко не так. Главным образом они должны нас учить тому, что можно и что следует в них изменять. Только таким образом мы можем извлечь из них что-либо полезное.

Третий пример покажет нам, каким образом можем мы заметить математические аналогии в ряду явлений, с физической точки зрения не состоящих ни в кажущемся, ни в реальном соотношении такого рода, чтобы законы одного из этих явлений помогали нам догадываться о законах другого.

Одно и то же уравнение Лапласа встречается в теориях ньютоновского тяготения, движения жидкостей, электрического потенциала, в теории магнетизма, в теории теплопроводности и еще во многих других.

Что отсюда следует? Эти теории кажутся изображениями, скопированными одно с другого; они взаимно освещают одна другую, заимствуя друг у друга свой язык. Спросите у специалистов по теории электричества, не радуются ли они изобретению понятия о силовом потоке, внушенного гидродинамикой и теорией теплоты. Итак, математические аналогии не только дают нам возможность предчувствовать физические аналогии, но не перестают быть полезными и в том случае, когда последние оказываются ошибочными.

Резюмируем сказанное. Цель математической физики заключается не только в том, чтобы облегчить физику вычисление некоторых постоянных или интегрирование некоторых дифференциальных уравнений.