Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Итак, в этом законе падающих тел Галилей инстинктивно размышлял о мгновенной скорости – понятии дифференциального исчисления, с которым мы познакомимся в главе 6. В то время он не мог определить ее точно, но интуитивно понимал.

Искусство научного минимализма

Прежде чем мы оставим эксперимент Галилея с наклонной плоскостью, давайте обратим внимание на стоящее за ним мастерство. Ученый уговорил природу дать красивый ответ, задав красивый вопрос. Словно художник-экспрессионист, он выделял то, что его интересовало, отбрасывая остальное.

Например, описывая свой прибор, он говорит, что сделал желоб очень прямым, гладким и отполированным [115]и катил по нему твердый, гладкий и круглый бронзовый шар. Почему его так беспокоили гладкость, прямолинейность, твердость и округлость? Потому что ученый хотел, чтобы шар катился вниз в самых простых и идеальных условиях, какие он только мог представить. Он сделал все возможное, чтобы уменьшить потенциальные осложнения, возникающие из-за трения или столкновений шара с боковыми стенками желоба (что могло происходить, если канал не был прямым), из-за мягкости шара (что могло привести к потере энергии шаром из-за его деформации) и всего остального, что могло вызвать отклонения от идеального случая. Это был правильный эстетический выбор. Просто. Элегантно. И минимально.

Сравните это с Аристотелем, который ошибался с законами падения, потому что его сбивали с толку осложнения. Ученый считал, что тяжелые тела падают быстрее легких – со скоростью, пропорциональной их массе. Это верно для крошечных частиц, плавающих в очень густой вязкой среде, например патоке или меде, но неверно для пушечных ядер или мушкетных пуль, падающих сквозь воздух. Похоже, Аристотель был так озабочен силами сопротивления, создаваемыми воздухом (следует признать, что это важный эффект при падении перьев, листьев, снежинок и прочих легких предметов, у которых большая площадь поверхности, на которую воздействует воздух), что забыл проверить свою теорию на более типичных предметах вроде камней, кирпичей или обуви, то есть на компактных и тяжелых вещах. Другими словами, он слишком сильно сосредоточился на шуме (сопротивлении воздуха) и недостаточно на сигнале (инерция и сила тяжести) [116].

Галилей не позволил себе отвлекаться. Он знал, что сопротивление воздуха и трение в реальном мире неизбежны, а значит, и в его эксперименте тоже, но они несущественны. Предвидя критику, он признал, что дробинка падает не так быстро, как пушечное ядро, но отметил, что допущенная ошибка гораздо меньше, чем в теории Аристотеля. В книге «Две новые науки» персонаж, прототипом которого был Галилей, говорит простоватому собеседнику, стоящему на аристотелевских позициях [117]: «Я не хотел бы… чтобы вы поступали как многие другие, отклоняя беседу от главного вопроса, и придирались к выражению, в котором я допустил отклонение от действительности на один волосок, желая скрыть за этой небольшой погрешностью ошибку другого, грубую, как якорный канат» [118], [119].

В том-то и дело. В науке допустима погрешность в один волосок. А грубая, как якорный канат, – нет.

Галилей продолжил изучать движение брошенных тел, например полет мушкетной пули или пушечного ядра. По какой траектории они летят? Ученый полагал, что движение такого тела складывается из двух разных эффектов, которые следует рассматривать по отдельности: боковое движение, параллельное поверхности земли, в котором сила тяжести не играет роли, и вертикальное движение вверх или вниз, где действует сила тяжести и применим его закон падающих тел. Объединив оба вида движения, он обнаружил, что брошенные тела летят по параболическим траекториям. Вы наблюдаете их всякий раз, когда перебрасываетесь мячиком или пьете воду из питьевого фонтанчика.

Это была еще одна потрясающая связь между природой и математикой и еще одно свидетельство того, что книга природы написана на языке математики. Галилей был в восторге, обнаружив, что парабола, абстрактная кривая, которую изучал его кумир Архимед, существует в реальном мире. Природа использовала геометрию.

Но чтобы прийти к такому пониманию, Галилею нужно было знать, чем можно пренебречь. Как и прежде, приходилось игнорировать сопротивление воздуха – силу, замедлявшую движение летящего тела из-за трения. Для одних видов брошенных тел (камень) такое трение пренебрежимо мало по сравнению с гравитацией, тогда как для других (надувной мяч для пляжа или мяч для настольного тенниса) это не так. Все виды трения, включая сопротивление воздуха, трудны для изучения. По сей день оно остается загадкой и темой активных исследований.

Чтобы получить простую параболу, Галилею нужно было предположить, что боковое движение не замедляется, а продолжается вечно. Это был пример его закона инерции, который гласит, что движущееся тело остается в движении с той же скоростью и в том же направлении, если на него не действуют внешние силы. Для реального брошенного тела сопротивление воздуха будет такой внешней силой. Но, по мнению Галилея, в качестве приближения лучше проигнорировать это, чтобы охватить львиную долю истины и красоты в том, как двигаются предметы.

От качающейся люстры к системе глобального позиционирования

Согласно легенде, Галилей сделал свое первое научное открытие, еще будучи студентом-медиком. Однажды во время церковной службы в Пизанском соборе он заметил, что висевшая над головами люстра раскачивается подобно маятнику [120]. Ее двигали потоки воздуха, и Галилей подметил, что для одного колебания всегда требуется одно и то же время – независимо от того, сильное оно или слабое. Это удивило его. Как могут большие и маленькие колебания занимать одинаковое время? Но чем больше он над этим думал, тем логичнее казался ответ. Да, при большом отклонении люстра проходила большее расстояние, но и двигалась она быстрее. Возможно, эти два эффекта уравновешиваются? Чтобы проверить эту догадку, Галилей измерил время колебания с помощью собственного пульса. И действительно, каждое колебание длилось одинаковое количество его ударов.

Эта легенда чудесна, и мне хочется в нее верить, однако многие историки сомневаются в ее истинности. Она дошла до нас от первого и самого преданного биографа Галилея – Винченцо Вивиани. Этот молодой человек был помощником и учеником Галилея в конце жизни ученого, когда тот ослеп и жил под домашним арестом. Разумеется, испытывая вполне понятное почтение к своему старому учителю, Вивиани приукрасил пару историй, когда писал биографию ученого после его смерти.

Но даже если история недостоверна (но, может, и нет!), мы точно знаем, что Галилей проводил опыты с маятниками еще в 1602 году и писал о них в книге «Две новые науки». В этой книге, построенной как сократовский диалог, один из персонажей говорит так, словно был тогда в соборе с тем мечтательным юным студентом: «Тысячи раз наблюдал я колебания, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения» [121], [122]. В остальной части диалога разъясняется, что маятнику требуется одно и то же время, чтобы пройти дугу любого размера. Итак, мы знаем, что Галилей был хорошо знаком с явлением, описанным в рассказе Вивиани; остается только догадываться, действительно ли именно он открыл его в молодости.