Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Кроме того, эти спутники как-то умудрялись оставаться у Юпитера во время движения по небу. А ведь одним из стандартных аргументов против гелиоцентризма было то, что если Земля вращается бы вокруг Солнца, то Луна должна от нее отстать. Однако Юпитер с его спутниками показал, что это рассуждение ложно.

Это не означает, что Галилей был атеистом или нерелигиозным человеком. Он был добрым католиком и полагал, что открывает великолепие божьего труда, документируя его в соответствии с истиной, а не с традиционными представлениями Аристотеля и его более поздних схоластических толкователей. Однако католическая церковь так не считала. Труды Галилея были сочтены ересью. В 1633 году он предстал перед инквизицией, где его заставили отречься от своих взглядов. Его приговорили к пожизненному заключению, которое затем заменили домашним арестом, и остаток жизни Галилей прожил в своем доме в Арчетри около Флоренции. Он с нетерпением ждал встречи с любимой дочерью Марией Челесте, однако вскоре после его возвращения она заболела и умерла – в возрасте тридцати трех лет. Галилей был опустошен и на какое-то время утратил интерес к работе и жизни.

Оставшиеся годы он провел под домашним арестом – старик, теряющий зрение и пытающийся спорить со временем. Каким-то образом через два года после смерти дочери он нашел в себе силы обобщить свои неопубликованные исследования движения. Получившаяся книга, «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» [110], стала кульминацией его трудов и первым великим шедевром современной физики. Он написал ее на итальянском, а не на латыни, чтобы ее мог понять кто угодно, и тайно переправил в Голландию, где она была опубликована в 1638 году. Радикальные идеи этой работы дали старт научной революции и привели человечество к разгадке тайны Вселенной: что великая книга природы написана на языке анализа.

Падение, качение и закон нечетных чисел

Галилей первым стал практиковать научный метод. Вместо того чтобы цитировать авторитетов или философствовать, сидя в кресле, он изучал природу посредством тщательных наблюдений, остроумных экспериментов и изящных математических моделей. Такой подход позволил ему сделать многие замечательные открытия, среди которых было и такое: за тем, как падают предметы, скрываются нечетные числа 1, 3, 5, 7 и так далее.

До Галилея Аристотель предполагал, что тяжелые тела падают [111], потому что стремятся к своему естественному месту в центре космоса. Галилей считал, что это пустые слова. Вместо того чтобы размышлять, почему вещи упали, он хотел количественно определить характеристики того, как они падают. Для этого ему требовался способ измерять движение падающих тел и отслеживать, где они находятся, момент за моментом.

Это было непросто. Любой, кто сбрасывал камень с моста, знает, что камни падают быстро. Чтобы следить за камнем в каждый момент его падения, нужны очень точные часы, а таких во времена Галилея не было, да и несколько хороших видеокамер не помешали бы, но и они отсутствовали в начале 1600-х годов.

Галилей придумал блестящее решение: он замедлил движение. Вместо бросания камня с моста он пускал шар по наклонному скату. На языке физики он известен как наклонная плоскость, хотя во время первоначальных экспериментов Галилея это был длинный тонкий кусок дерева с прорезанным желобком для шара. Когда ученый уменьшал наклон почти до горизонтального, он мог замедлить движение шара до желаемой скорости, что позволяло ему измерять, где находится шар в каждый момент времени, обходясь инструментами, доступными в то время.

Чтобы определить время спуска шара, он использовал водяные часы. Они работали как секундомер: в начальный момент физик открывал вентиль и вода начинала с постоянной скоростью поступать по тонкой трубе в резервуар. В нужный момент он закрывал вентиль. Взвесив воду, накопившуюся в резервуаре за время спуска шара, Галилей мог количественно определить, сколько времени прошло, с точностью до «одной десятой удара пульса» [112], [113].

Он повторял эксперимент много раз, иногда меняя наклон ската, а иногда – расстояние, проходимое шаром. По его словам, он установил следующее: «Расстояния, пройденные за равные промежутки времени телом, падающим из состояния покоя, находятся между собой в таком же соотношении, как и нечетные числа, начинающиеся с единицы» [114].

Чтобы понятнее изложить этот закон больших чисел, предположим, что шар прокатится некоторое расстояние за первую единицу времени. Тогда за вторую единицу времени он прокатится втрое дальше, за третью – впятеро. . Это потрясающе! Нечетные числа 1, 3, 5 и так далее как-то связаны с тем, как предметы катятся вниз. И если падение – это предельный случай качения, когда наклон приближается к вертикали, то и для падения должно быть справедливо то же самое.

Мы можем только представить, как должен был обрадоваться Галилей, когда открыл это правило. Но обратите внимание, как он его сформулировал: словами, числами и соотношениями, а не буквами, формулами и уравнениями. Наша нынешняя манера использовать алгебру, а не разговорный язык, по тем временам казалась бы авангардным, новейшим, новомодным способом думать и говорить. Галилей так не думал и не выражался, да и читатели его бы не поняли.

Чтобы увидеть самые важные следствия из правила Галилея, давайте посмотрим, что произойдет при сложении последовательных нечетных чисел. За одну единицу времени шар прошел одну единицу расстояния. За следующую – еще три единицы расстояния, то есть в общей сложности 1 + 3 = 4 единицы с момента начала движения. После третьей единицы времени получаем 1 + 3 + 5 = 9 единиц расстояния. Обратите внимание на закономерность: числа 1, 4 и 9 – это квадраты последовательных целых чисел: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9. Таким образом, правило нечетных чисел Галилея, похоже, означает, что общее расстояние, пройденное падающим телом, пропорционально квадрату прошедшего времени.

Эту изящную связь между нечетными числами и квадратами можно доказать наглядно. Представьте нечетные числа как «уголки» из точек:

Теперь соедините их так, чтобы получился квадрат. Например, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 × 4, поскольку мы можем сложить первые четыре уголка так, чтобы они образовали квадрат со стороной 4.

Наряду с законом о расстоянии, пройденном падающим телом, Галилей также открыл закон скорости. По его словам, скорость увеличивается пропорционально времени падения. Интересно здесь то, что ученый имел в виду мгновенную скорость, что кажется парадоксальным понятием. В книге «Две новые науки» он приложил немало усилий, чтобы объяснить, что при падении из состояния покоя тело не прыгает внезапно с нулевой скорости до какой-то более высокой, как полагали его современники. Наоборот, оно плавно проходит через все промежуточные скорости – бесконечное количество скоростей – за конечное время, начиная с нулевой и непрерывно увеличивая скорость при падении.