Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Через несколько лет конкурент Pixar, компания DreamWorks, сделала следующий шаг на пути к реализму и эмоциональной выразительности в своей истории о дурно пахнущем, ворчливом героическом огре по имени Шрек.

Entertainment Pictures / Alamy

Хотя Шрек никогда не существовал вне компьютера, выглядел он почти как человек. Отчасти потому, что аниматоры постарались воспроизвести анатомию человека. Под виртуальной кожей они создали виртуальные мышцы, жир, кости и суставы. Все было сделано настолько добросовестно, что, когда Шрек открывал рот, чтобы сказать что-нибудь, кожа на его шее образовывала второй подбородок [85].

Это подводит нас к другой области, где идея Архимеда о приближении прямолинейными формами оказалась полезной, – пластической хирургии лица [86]для пациентов с неправильным прикусом, смещением челюстей и другими врожденными пороками. В 2006 году немецкие математики Петер Дойфлхард, Мартин Вайзер и Стефан Захов сообщили о результатах своей работы по применению анализа и компьютерного моделирования для прогнозирования результатов сложных операций на лице.

Первым шагом было построение точной карты структуры лицевых костей пациента. Для этого использовалась компьютерная (КТ) или магнитно-резонансная (МРТ) томография. Результаты давали информацию о трехмерной конфигурации лицевых костей черепа, с помощью которой исследователи строили компьютерную модель лица пациента. Эта модель была не просто геометрически точной; она была биомеханически точной. Она включала реалистичные оценки свойств кожи и мягких тканей – жиров, мышц, сухожилий, связок и кровеносных сосудов. С помощью компьютерной модели хирурги могли проводить операции на виртуальных пациентах, подобно тому как пилоты оттачивают мастерство на летных тренажерах. Виртуальные кости лица, челюсти и черепа можно резать, перемещать, наращивать или полностью удалять. Компьютер рассчитывал, как в ответ на появление новой костной структуры будут перемещаться и перестраиваться виртуальные мягкие ткани.

Результаты такого моделирования полезны по нескольким причинам. Они предупреждают хирургов о возможных неблагоприятных воздействиях процедуры на такие уязвимые структуры, как нервы, кровеносные сосуды и корни зубов. Они также показывают, как будет выглядеть лицо пациента после операции, поскольку модель предсказывает, как переместятся мягкие ткани после выздоровления пациента. Еще одно преимущество – это позволяло хирургам лучше подготовиться к реальной операции в свете смоделированных результатов. А пациенты могли более взвешенно принимать решение о необходимости операции.

Идеи Архимеда проявились, когда исследователи смоделировали гладкую двумерную поверхность черепа с помощью огромного количества треугольников. Мягкие ткани создавали собственные геометрические проблемы. В отличие от черепа, мягкие ткани полностью заполняют трехмерный объем. Они наполняют сложное пространство между кожей лица и черепом. Ученые представили эту ткань сотнями тысяч тетраэдров – трехмерных аналогов треугольников. На изображении внизу поверхность черепа аппроксимируют примерно 250 000 треугольников (они слишком малы, чтобы их разглядеть), а объем мягких тканей включает 650 000 тетраэдров.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)

Массив тетраэдров позволил исследователям предсказать, как поведут себя после операции мягкие ткани пациента. Грубо говоря, мягкие ткани – это упругий материал, немного похожий на резину или эластан. Если вы ущипнете себя за щеку, она изменит форму, а когда отпустите, вернется к естественному состоянию. Еще с 1800-х годов математики и инженеры использовали анализ, чтобы смоделировать, как различные материалы будут растягиваться, изгибаться или скручиваться, если их сжимать, растягивать или резать различными способами. Эта теория лучше всего развита в традиционных областях техники, где она используется для изучения напряжений и деформаций в мостах, зданиях, крыльях самолетов и многих других конструкциях из стали, бетона, алюминия и прочих жестких материалов. Немецкие исследователи адаптировали традиционный подход к мягким тканям и обнаружили, что он работает достаточно хорошо для того, чтобы быть полезным хирургам и пациентам.

Их основная идея заключалась в следующем. Представим мягкие ткани в виде сети тетраэдров, связанных между собой подобно бусинкам, соединенным эластичными нитями. Эти бусинки изображают небольшие кусочки ткани. Они соединены эластично, потому что в реальности атомы и молекулы в тканях соединены химическими связями. Эти связи сопротивляются растяжению и сжатию, что и обеспечивает упругость. Во время виртуальной операции хирург разрезает кости на виртуальном лице и передвигает некоторые их фрагменты. Когда кусок кости перемещается на новое место, он тянет за собой присоединенные ткани, а те, в свою очередь, тянут соседние ткани. В результате из-за этих сил сеть меняет конфигурацию. По мере движения участков ткани они меняют силы, оказываемые на соседей, поскольку связи между участками растягиваются или сжимаются. Затронутые соседи перенастраиваются сами и так далее. Отслеживание всех возникающих сил и смещений требует колоссальных вычислений, которые может выполнить только компьютер. Шаг за шагом алгоритм корректирует мириады сил и перемещений в крошечных тетраэдрах. В конечном счете все силы уравновешиваются и ткани приходят в новое состояние равновесия. Это и будет новой формой лица пациента, предсказанной моделью.

В 2006 году Дойфлхард, Вайзер и Захов проверили прогнозы своей модели для примерно тридцати клинических случаев и пришли к выводу, что она работает замечательно. В качестве одной из мер ее успешности было правильно предсказанное – с точностью до миллиметра – положение 70 % поверхности кожи на лице пациента. Только для 5–10 % поверхности отклонение от прогноза составляло более трех миллиметров. Другими словами, модели можно было доверять. И это, конечно, гораздо лучше, чем действовать наугад. Вот пример с одним пациентом до и после операции. На четырех иллюстрациях показан его профиль до операции (крайний рисунок слева), компьютерная модель лица в этот момент (второй рисунок слева), спрогнозированный результат операции (второй рисунок справа) и фактический результат (крайний рисунок справа).

Посмотрите на положение его челюсти до и после операции. Результаты говорят сами за себя.

Стефан Захов, институт Цузе в Берлине (ZIB)