Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

В этот момент я начинаю испытывать настоящее расположение к Архимеду, поскольку в одном из своих сочинений [60]он делает то, на что решаются немногие гении: приглашает нас посмотреть, как он мыслит [61]. (Я использую здесь настоящее время, потому что этот труд воспринимается так, словно ученый говорит с нами сегодня). Он делится своей уязвимой интуицией и выражает надежду, что будущие математики станут использовать ее для решения задач, которые ускользнули от него. Сегодня этот секрет известен как метод [62]. Я никогда не слышал о нем на занятиях по анализу. Нас ему не учат. Но я нахожу его историю и саму изначальную идею захватывающей и уникальной.

Архимед пишет о «Методе» в письме своему другу Эратосфену, библиотекарю в Александрии и единственному математику того времени, способному его понять. Он признается, что хотя его метод и не обеспечивает реальной демонстрации результатов [63], которые его интересуют, он помогает установить истину. Это наделяет его интуицией. Как он говорит, «если мы с помощью этого метода заранее получили какие-то знания по нужному вопросу, получить доказательство проще, чем находить его без предварительного знания». Другими словами, разминаясь, играя с методом, Архимед приобретает ощущение территории. И это приводит его к надежным доказательствам.

Вот такой честный отчет о том, что значит заниматься творческой математикой. Математики не придумывают доказательств сразу. Сначала срабатывает интуиция. Строгость приходит позднее. Эту решающую роль интуиции и воображения часто не учитывают в школьных курсах геометрии, однако она важна для всей творческой математики.

Архимед с надеждой заключает, что «среди нынешних и будущих поколений найдутся те, кто с помощью описанного здесь метода сможет найти другие теоремы, которые не выпали на нашу долю» [64]. От этих слов у меня на глаза наворачиваются слезы. Этот непревзойденный гений, ощущающий конечность своей жизни на фоне бесконечности математики, признает, что еще предстоит очень много сделать и что существуют «другие теоремы, которые не выпали на нашу долю». Все мы, математики, это понимаем. Наш предмет бесконечен. Он учит смирению даже самого Архимеда.

Первое упоминание о методе появляется в начале сочинения о квадратуре параболы, перед кубистским доказательством с помощью осколков. Архимед признает, что именно метод привел его к этому доказательству и прежде всего к числу 4/3.

Что же это за метод и что в нем такого личного, блестящего и трансгрессивного? Метод механический ; Архимед ищет площадь сегмента параболы, мысленно его взвешивая. Он думает об этой криволинейной области как о материальном предмете – я представляю его в виде тонкого листа металла, обрезанного до желаемой параболической формы, – а затем помещает его на один конец воображаемых весов. Или, если вам так удобнее, представьте его на конце воображаемой доски-качалки. Затем он выясняет, как уравновесить этот предмет с помощью фигуры, которую он уже умеет взвешивать, – треугольника. Отсюда он выводит площадь первоначального сегмента параболы.

Это еще более творческий подход, чем его кубистско-геометрическая техника осколков и треугольников, которую мы обсуждали ранее, поскольку в этом случае Архимед собирается построить для вычислений воображаемую доску-качалку, причем так, чтобы она соответствовала размерам параболы. В совокупности его идеи дадут ответ, который он ищет.

Он начинает с сегмента параболы и наклоняет его так, чтобы ось симметрии параболы была вертикальной.

Затем он строит качалку. Инструкция по эксплуатации гласит: нарисуйте большой треугольник внутри сегмента параболы и обозначьте его ABC . Как и в кубистском доказательстве, он будет служить стандартной мерой площади. Мы будем сравнивать с ним площадь сегмента и увидим, что она в 4/3 раза больше.

Теперь заключим наш сегмент в треугольник гораздо большего размера, ACD .

Верхняя сторона этого треугольника выбирается как касательная прямая к параболе в точке C. Основание треугольника – линия AC. Левая же сторона – линия, идущая от А вертикально вверх до пересечения с верхней стороной в точке D. С помощью обычной евклидовой геометрии Архимед доказывает, что площадь этого большого внешнего треугольника ACD вчетверо превышает ABC. (Этот факт станет важным позже, а пока возьмем его на заметку.)

Следующий этап – строительство остальной части качалки: доски, двух сидений и точки опоры. Доска – это линия, соединяющая два сиденья. Она начинается в точке C (первое сиденье), проходит через B , пересекает границу внешнего треугольника в F (это будет точка опоры) и продолжается далее до точки S (второе сиденье), которая определяется как FS = FC. Иными словами, F – середина отрезка SC .

И вот тут появляется ошеломляющая идея, лежащая в основе всей концепции. Используя известные факты о параболах и треугольниках, Архимед доказывает, что можно уравновесить большой внешний треугольник относительно сегмента параболы, если представлять его по одной вертикальной линии за раз. Он считает обе фигуры состоящими из бесконечного количества параллельных отрезков, похожих на бесконечно тонкие планки или ребра. Вот типичная пара вертикальных линий-ребер. Короткое ребро соединяет основание с параболой,

а длинное ребро – с верхней стороной внешнего треугольника.

Суть идеи состоит в том, что эти ребра идеально уравновешивают друг друга, как дети, качающиеся на доске, если они находятся в правильных точках. Архимед доказывает, что если сдвинуть короткое ребро до точки S , а длинное оставить на своем месте, то они уравновешиваются.

То же самое верно для любого вертикального кусочка. Неважно, какой вертикальный срез вы сделаете, короткое ребро всегда уравновесит длинное, если вы поместите его в точку S, а длинное оставите на месте.