Стивен Строгац - Бесконечная сила [Как математический анализ раскрывает тайны вселенной]

Похоже, что Ньютон еще в колледже понял, что ускорение пропорционально силе. Из трудов Галилея он знал, что, если на тело не действует никакая сила, оно либо остается в покое, либо двигается по прямой с постоянной скоростью. Он понял, что сила нужна не для создания движения, а для создания изменений в движении. Именно сила ответственна за то, что тела ускоряются, замедляются или отклоняются от прямой линии. Это понимание было значительным шагом вперед по сравнению с аристотелевским мышлением. Аристотель не воспринимал инерцию. Он полагал, что сила нужна только для того, чтобы заставить тело двигаться. И, справедливости ради, это верно в ситуациях, где есть значительное трение. Если вы попробуете двигать по полу письменный стол, вам придется постоянно толкать его; как только вы прекратите это делать, стол остановится. Однако для планет, летящих в космическом пространстве, или яблок, падающих на землю, трение не так актуально. В этих случаях сила трения пренебрежимо мала и ее можно игнорировать, не упуская сути явления.

В ньютоновской картине мира доминирующая сила – это тяготение, а не трение. Так и должно быть, учитывая, как тесно Ньютон и тяготение связаны в сознании людей. Когда большинство людей думают об ученом, они тут же вспоминают о том, что Ньютон открыл гравитацию, когда ему на голову упало яблоко [263]. Внимание, спойлер: это не так. Ньютон не открывал гравитацию; люди уже знали, что тяжелые предметы падают. Но никто не знал, насколько далеко распространяется гравитация. Не заканчивается ли она в небе?

Ньютон предположил, что гравитация может распространяться до Луны, а возможно, и дальше. Его идея состояла в том, что движение Луны по орбите – это нечто вроде бесконечного падения на Землю. Но, в отличие от падающего яблока, Луна не падает на Землю, потому что одновременно по инерции движется в сторону. Это похоже на полет одного из пушечных ядер Галилея, летящего в сторону и падающего одновременно, двигаясь по какой-то криволинейной траектории; за исключением того, что Луна перемещается так быстро, что не достигает искривленной поверхности сферической Земли. Поскольку орбита нашего спутника отклоняется от прямой линии, Луна ускоряется – не в том смысле, что меняет скорость, а в том, что меняет направление движения. С прямолинейного пути ее сбивает непрекращающееся притяжение Земли. Результирующее ускорение называется центростремительным ускорением, то есть направленным к центру – в нашем случае к центру Земли.

Из третьего закона Кеплера Ньютон заключил, что сила тяжести ослабевает с расстоянием, что объясняет, почему более удаленные планеты дольше обращаются вокруг Солнца. Согласно его расчетам, если Солнце притягивает планеты с помощью такого же рода силы, как та, что притягивает яблоко к Земле и удерживает на орбите Луну, то эта сила должна ослабевать обратно пропорционально квадрату расстояния. Таким образом, если бы расстояние между Землей и Луной можно было бы как-то удвоить, то сила притяжения между ними уменьшилась бы в четыре раза (в 2 2, а не в 2 раза). Если бы расстояние утроилось, сила уменьшилась бы в девять раз, а не в три. Следует признать, что в расчеты Ньютона входили некоторые сомнительные предположения, в частности о том, что гравитация действует на расстоянии мгновенно, словно расстояния в космосе не имеют значения. Он понятия не имел, как такое возможно, но закон обратных квадратов его заинтересовал.

Чтобы проверить его количественно, он оценил центростремительное ускорение Луны, поскольку она обращается вокруг Земли на известном расстоянии (примерно в 60 раз превышающем радиус Земли) с известным периодом обращения (около 27 дней), а затем сравнил ускорение Луны с ускорением падающих тел на Земле, которое Галилей измерял в своих экспериментах с наклонной плоскостью. Ньютон обнаружил, что эти две величины отличаются коэффициентом, который обнадеживающе близок к 3600, то есть к 60 2. Но ведь именно это и предсказывал закон обратных квадратов. Поскольку Луна находится в 60 раз дальше от центра Земли, чем падающее с дерева яблоко, ее ускорение должно быть в 60 2раз меньше. Позже Ньютон вспоминал, что «сравнил силу, необходимую для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и обнаружил, что они неплохо соответствуют» [264].

В то время мысль, что сила тяготения может распространяться на Луну, казалось безумной. Вспомните, что в доктрине Аристотеля все, что ниже Луны, считалось тленным и несовершенным, а все, что выше, – идеальным, вечным и неизменным. Ньютон разрушил эту парадигму. Он объединил небо и землю и показал, что и то и другое описывается одними и теми же законами физики.

Примерно через двадцать лет после открытия закона обратных квадратов [265]Ньютон сделал перерыв в своем увлечении алхимией и библейской хронологией и вернулся к вопросу движения под действием силы гравитации. Его подтолкнули к этому коллеги и соперники из Лондонского королевского общества. Они предложили ему разобраться с гораздо более сложной, по сравнению с предыдущими, задачей, которую никто из них не знал, как решить: если предположить, что сила притяжения со стороны Солнца убывает по закону обратных квадратов, то как бы двигались планеты? «По эллипсам» [266], – сразу же ответил Ньютон, когда Эдмунд Галлей задал ему этот вопрос. Удивленный Галлей спросил, откуда он знает, на что ученый ответил: «Я это вычислил». Когда Галлей убедил его опубликовать это доказательство, Ньютон вернулся к своей старой работе. В неистовом приливе активности, почти столь же яростном, как во время чумы, Ньютон написал «Начала».

Приняв три закона движения и закон тяготения за аксиомы и используя анализ в качестве дедуктивного инструмента, Ньютон доказал, что отсюда логически следуют все три закона Кеплера [267]. То же самое было верно для закона инерции Галилея, изохронности маятников, правила нечетных чисел для скатывания шаров и параболических дуг, по которым летят предметы. Все они были следствием закона обратных квадратов и соотношения F = ma . Такое обращение к дедуктивным рассуждениям потрясло коллег ученого и обеспокоило их по философским соображениям. Многие из них были эмпириками: они полагали, что логика применима только внутри самой математики, а природу нужно изучать путем экспериментов и наблюдений. Их ошеломила мысль, что природа обладает внутренним математическим ядром и что ее явления можно логически вывести из эмпирических аксиом вроде законов тяготения и движения.

Вопрос, который Галлей задал Ньютону, был чудовищно трудным. Он требовал преобразовать локальную информацию в глобальную, что было основной трудностью интегрального исчисления и прогнозирования, как мы обсуждали в главе 7.