Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Тут можно читать онлайн Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - бесплатно ознакомительный отрывок. Жанр: Математика, год 2020. Здесь Вы можете читать ознакомительный отрывок из книги онлайн без регистрации и SMS на сайте лучшей интернет библиотеки ЛибКинг или прочесть краткое содержание (суть), предисловие и аннотацию. Так же сможете купить и скачать торрент в электронном формате fb2, найти и слушать аудиокнигу на русском языке или узнать сколько частей в серии и всего страниц в публикации. Читателям доступно смотреть обложку, картинки, описание и отзывы (комментарии) о произведении.
  • Название:
    Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения
  • Автор:
  • Жанр:
  • Издательство:
    неизвестно
  • Год:
    2020
  • ISBN:
    978-5-532-06306-8
  • Рейтинг:
    3/5. Голосов: 11
  • Избранное:
    Добавить в избранное
  • Отзывы:
  • Ваша оценка:
    • 60
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

Владимир Трошин - Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения краткое содержание

Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - описание и краткое содержание, автор Владимир Трошин, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки LibKing.Ru
Тысячи лет человечество использует в практической деятельности и одновременно изучает натуральные числа. В них привлекает внешняя простота, которая при внимательном рассмотрении превращается в необозримую бесконечность. Этим объясняется тот факт, что многие проблемы, связанные с натуральными числами, поставлены очень давно, но не решены до сих пор. Люди постоянно продолжают находить в натуральных числах что-то новое и интересное. Об этом интересном рассказывает книга. Читайте, расширяйте свой кругозор, тренируйте ум, развивайтесь.

Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок

Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения - читать книгу онлайн бесплатно (ознакомительный отрывок), автор Владимир Трошин
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать

Извините, формулы получаются написанными коряво, так как конвертер издательства не принимает и не распознает формулы, красиво сделанные во встроенном редакторе формул, и приходится изощряться, чтобы написать их в Worde просто с клавиатуры. В результате остается только изображение в строчку, красота формулы теряется.

Получение квадратных чисел можно иллюстрировать построением квадратов с последовательным увеличением длины стороны квадрата: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … .

С алгебраической точки зрения они представляют собой квадраты чисел - фото 9

С алгебраической точки зрения они представляют собой квадраты чисел натурального ряда, но могут быть интерпретированы и как результат последовательного суммирования нечетных чисел натурального ряда: 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16, 1+3+5+7+9=25. Формула для получения n -го квадратного числа P n (4)= n 2. Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел: 4=1+3, 9=3+6, 16=6+10, P n (4)= P n - 1 (3) + P n (3). До сих пор не доказана гипотеза Лежандра (1808 год): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. Не доказана, но и не опровергнута.

Частным случаем плоских чисел являются прямоугольные числа, являющиеся произведением двух последовательных натуральных чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, … .

Прямоугольные числа представляют собой удвоенные треугольные числа P n np - фото 10

Прямоугольные числа представляют собой удвоенные треугольные числа: P n ( np )= n ( n -1).

Вернемся к правильным многоугольникам. На очереди пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, … .

Формула для получения n го пятиугольного числа P n 5 n 3 n 12 - фото 11

Формула для получения n -го пятиугольного числа: P n ( 5)=( n (3 n -1))/2.

Далее идут шестиугольные числа: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, ….

Формула для получения n го шестиугольного числа P n 62 n 2 n - фото 12

Формула для получения n -го шестиугольного числа: P n ( 6)=2 n 2- n . Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: P n ( 6)= P 2 n - 1 (3).

Можно было бы продолжать бесконечно, рассматривая прочие многоугольные плоские фигурные числа, но нужно где-то остановиться. Пусть это будут шестиугольные числа.

Выйдя из плоскости можно рассмотреть трехмерные правильные фигурные числа. Пирамидальные числа возникают при складывании маленьких шаров одинакового диаметра горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Первые из них тетраэдрические числа – это фигурные числа, которые представляют собой пирамиду, сложенную из сфер одного диаметра. Каждый слой в такой пирамиде – треугольное число. Наверху один шар, под ним – 3, под теми – 6 и т. д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, … . Пример нескольких первых тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, … . Формула для тетраэдрического числа: T n ( 4)=( n ( n +1)( n +2))/6.

Затем к пирамидальным числам отнесем квадратные пирамидальные числа - фото 13

Затем к пирамидальным числам отнесем квадратные пирамидальные числа, представляющие собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. И далее, далее … .

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125… , то есть это просто кубы натуральных чисел.

В любом рассмотренном варианте фигурных чисел возможны продолжения Некоторые - фото 14

В любом рассмотренном варианте фигурных чисел возможны продолжения. Некоторые из них мы отнесли во второй уровень классификации и все равно перебрать это многообразие невозможно. Причем, у каждого из этих видов чисел открыты свои свойства, о которых здесь не рассказано. Целью этой книги не является подробное описание свойств всех существующих групп натуральных чисел. Задача ставится иная: легкими штрихами наметить общую картину, заинтересовать читателя, который возможно сам продолжит рассмотрение понравившегося ему класса чисел, и тогда уж изучит все их свойства по другим источникам, а возможно сделает свои открытия. Вот где простор для тематики ученической проектной деятельности. Каждому ученику поручить исследование отдельного вида чисел, их хватит на целый класс.

Столкнувшись с тем многообразием, которое скрыто в одних только натуральных числах, понимаешь, для чего могла бы пригодиться бесконечная жизнь – изучать эти числа.

С другой стороны, поставьте себя на место древних пифагорейцев. Телевизоров нет, смартфонов нет, развлечений кот наплакал. Поэтому они и развлекались с натуральными числами и достигли в этом таких высот, которые современный человек вряд ли охватит своим умом. Причем учтите, во времена пифагорейцев занимались математикой и философией люди свободные от других забот, не ведающие иного труда, кроме умственного. Даже в умственной деятельности теоретические исследования считались достойными привилегированного класса, а чисто вычислительная, практическая деятельность поручалась низшим сословиям. В наше время нет привилегированных классов и большинству людей не до чисел, ведь жизнь с развитием цивилизации легче не становится. Но как в любой другой области, среди множества людей разумных есть и любители исследовать числа.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности (Эратосфен, Диофант), большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Кардано), выдающиеся умы более позднего времени (Ферма, Эйлер, Гаусс). Все результаты, которых они достигли не описать и в нескольких книгах. В частности Диофант знал формулу, связывающую треугольные и квадратные числа: 8 P n (3)= P n (4). Были выведены общие формулы представления n -го по порядку k -угольного числа. Ферма сформулировал в 1637 году так называемую «золотую теорему»: Всякое натуральное число – либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел.

Всякое натуральное число – либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел.

Всякое натуральное число – либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел; и т.д.

Полное доказательство этой теоремы сумел дать Коши в 1813 году. Оцените промежуток времени, потребовавшийся для доказательства одной теоремы: с 1637 до 1813 года.

Читать дальше
Тёмная тема
Сбросить

Интервал:

Закладка:

Сделать


Владимир Трошин читать все книги автора по порядку

Владимир Трошин - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки LibKing.




Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения отзывы


Отзывы читателей о книге Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения, автор: Владимир Трошин. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.


Понравилась книга? Поделитесь впечатлениями - оставьте Ваш отзыв или расскажите друзьям

Напишите свой комментарий
x