Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Параллелограмм с четырьмя равными сторонами называется р о м б о м.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется квадратом? Прямоугольником? – Что называется диагональю? – Какая фигура называется параллелограммом? Ромбом? – Укажите свойства углов и сторон всякого параллелограмма. – Какой прямоугольник называется квадратом? – Какой параллелограмм называется прямоугольником? – В чем сходство и различие между квадратом и ромбом.

Применения

15. Квадрат чертят так: отложив одну сторону проводят к ней на концах перпендикуляры, откладывают на них такие же длины и соединяют концы прямой линией (черт. 82). Как убедиться, что четвертая сторона, начерченного четырехугольника равна трем остальным и что все углы его прямые?

Р е ш е н и е. Если построение велось так, что к стороне АВ в точках А и В были проведены перпендикуляры, на которых отложены: АС = АВ и DВ = AB , то остается доказать, что углы С и D прямые и что CD равно АВ. Для этого проведем (черт. 83) диагональ AD. Уг. CAD = ADB, как соответственные (при каких параллельных?); АС = DB , а потому треугольники CAD и BAD равны (по признаку СУС). Отсюда выводим, что CD = AB и уг. С = прямому углу В . Как доказать, что четвертый угол CDB тоже прямой?

16. Как начертить прямоугольник? Почему начерченная фигура может быть названа прямоугольником? (Показать, что все углы начерченной фигуры прямые).

Р е ш е н и е сходно с решением предыдущей задачи.

17. Докажите, что обе диагонали прямоугольника равны.

Р е ш е н и е (черт. 84) вытекает из равенства треугольников АВС и АВD (по признаку СУС).

18. Докажите, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Р е ш е н и е. Сравнивая (черт. 85) треугольники АВО и DСО, убеждаемся, что они равны (по признаку УСУ). Отсюда АО = ОС, 0В = ОD.

19. Длина общего перпендикуляра между двумя параллельными прямыми называется р а с с т о я н и е м между ними. Докажите, что расстояние между параллельными всюду одинаково.

У к а з а н и е: Какую фигуру образуют параллельные линии с двумя перпендикулярами между ними?

В фигурах часто приходится измерять не только д л и н у линий и у г л ы между ними, но и величину того участка, который они охватывают, – т. е. их п л о щ а д ь. В каких мерах измеряется площадь? За меру д л и н ы принята определенная д л и н а (метр, сантиметр), за меру у г л о в – определенный у г о л (1°); за меру же п л о щ а д е й принята определенная п л о щ а д ь, а именно, площадь квадрата со стороною в 1 метр, в 1 см и т. д. Такой квадрат называется «квадратным метром», «квадратным сантиметром» и т. д. Измерить площадь, значит узнать, сколько в ней квадратных единиц меры.

Если измеряемая площадь не велика (умещается на листе бумаги), ее можно измерить следующим образом. Прозрачную бумагу разграфляют на сантиметровые квадраты и накладывают на измеряемую фигуру. Тогда нетрудно прямо сосчитать, сколько квадратных сантиметров содержится в границах фигуры. При этом неполные квадраты близ границы принимают (на глаз) за полквадрата, за четверть квадрата и т. п., или мысленно соединяют их по несколько в целые квадраты. Разграфленная так прозрачная бумага называется п ал е т к о й. Этим способом часто пользуются для измерения площадей неправильных участков на плане.

Но не всегда бывает возможно и удобно накладывать сеть квадратов на измеряемую фигуру. Нельзя, например, измерять таким образом площадь пола или земельного участка. В таких случаях, вместо прямого измерения площади, прибегают к неприятному, состоящему в том, что измеряют только длину некоторых л и н и й фигуры и производят над полученными числами определенные действия. В дальнейшем мы покажем, как это делается.

Повторительные вопросы

В каких мерах определяют площадь фигур? – Что такое палетка и как ею пользуются?

Пусть требуется определить площадь какого-нибудь прямоугольника, например, ABDC (черт. 86). Измеряют линейной единицей, напр. метром, длину этого участка. Предположим, что метр укладывается в длине 5 раз. Разделим участок на поперечные полоски шириною в метр, как показано на черт. 87. Таких полос получится, очевидно, 5. Далее измерим метром ширину участка; пусть она равна 3 метрам. Разделим участок на продольные полосы в 1 метр ширины, как показано на черт. 88; их получится, конечно, 3. Каждая из пяти поперечных полос рассечется при этом на 3 квадратных метра, а весь участок будет разделен на 5 Ч 3=15 квадратов со стороною в 1 метр: мы узнали, что участок заключает в себе 15 кв. метров. Но мы могли получить то же число 15, не разграфляя участка, а только перемножив его длину на его ширину. Итак, чтобы узнать, сколько квадратных метров в прямоугольнике, нужно измерить его длину, его ширину и перемножить оба числа.

В рассмотренном случае единица длины – метр – укладывалась в обеих сторонах прямоугольника ц е л о е число раз. В подробных учебниках математики доказывается, что установленное сейчас правило верно и тогда, когда стороны прямоугольника не содержат целого числа единиц длины. Во всех случаях:

П л о щ а д ь п р я м о у г о л ь н и к а р а в н а

п р о и з в е д е н и ю е г о д л и н ы н а ш и р и н у,

и л и, к а к г о в о р я т в г е о м е т р и и, – е г о

«о с н о в а н и я» н а е г о «в ы с о т у».

Если длина основания прямоугольника обозначена буквою а , а длина высоты – буквою b, то площадь его S равна

S = a ? b,

или просто S = ab , потому что знак умножения между буквами не ставится.

Легко сообразить, что для определения площади к в а д р а т а надо умножить длину его стороны на себя, т. е. «возвысить в квадрат». Другими словами:

П л о щ а д ь к в а д р а т а р а в н а к в а д р а т у е г о с т о р о н ы. Если длина стороны квадрата а, то площадь его S равна

S = a ? a = a 2.

Зная это, можно установить соотношение между различными квадратными единицами. Например, в квадратном метре содержится квадратных дециметров 10 Ч 10, т. е. 100, а квадратных сантиметров 100 Ч 100, т. е. 10 000, – потому что линейный сантиметр укладывается в стороне квадратного дециметра 10 раз, а квадратного метра-100 раз.