Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Для измерения земельных участков употребляется особая мера – г е к т а р, содержащая 10 000 квадратных метров. Квадратный участок со стороною 100 метров имеет площадь в 1 гектар; прямоугольный участок с основанием 200 метров и высотою 150 метров имеет площадь 200 Ч 150, т. е. в 30 000 кв. м или 3 гектара. Обширные площади – например, округа и районы, – измеряются

к в а д р а т н ы м и к и л о м е т р а м и.

Сокращенное обозначение квадратных мер таково:

квадр. метр………………………………. кв. м или м2

квадр. дециметр…………………………. кв. дм или дм2

квадр. сантиметр………………………… кв. см или см2

квадр. миллиметр……………………….. кв. мм или мм2

гектар…………………………………….. га

Повторительные вопросы

Как вычисляется площадь прямоугольника? Квадрата? – Сколько кв. см в кв. м? Сколько кв. мм в кв. м? – Что такое гектар? – Сколько гектаров в кв. км? Как сокращенно обозначают квадратные меры?

Применения

20. Требуется окрасить иол комнаты, изображенный на черт. 6. Размеры, обозначены в метрах. Сколько понадобится для этого материалов и рабочей силы, если известно, что для окраски одного кв. метра деревянных полов с замазкой щелей и сучьев по прежде окрашенному, за два, требуется (по Урочному Положению):

Маляров…………………………………….. 0,044

Олифы, килограммов…………………….… 0,18

Охры светлой, кг…………………………… 0;099

Замазки, кг…………………………………0,00225

Пемзы, кг………………………………….. 0,0009.

Р е ш е н и е. Площадь пола равна 8 ?12 = 96 кв. м.

Расход материалов и рабочей силы таков

Маляров. . . . . . . . 0,044 ? 96 = 4,2 [3] Это значит, что один маляр выполнит эту работу в 4,2 дня,

Олифы. . . . . . . . 0,18 ? 96= 17 кг

Охры. . . . . . . . . 0,099 ? 96 – 9,9 кг

Замазки. . . . . . . . 0.00225 ? 96 = 0,22 кг

Пемзы. . . . . . . . . 0,0009 ? 96 = 0,09 кг.

21. Составьте ведомость расхода рабочей силы и материалов для оклейки обоями комнаты предыдущ. задачи. На оклейку стен простыми обоями с бордюрами требуется (по Уроч. Положению) на кв. метр:

Маляров или обойщиков………………………… 0,044

Обоев (шир. 44 см) кусков……………………… 0,264

Бордюр (по расчету)

Крахмала граммов………………………………. 90.

Р е ш е н и е – по образцу, указанному в предыдущей задаче. Заметим лишь, что при подсчете необходимого количества обоев на практике отверстия стен из их площади не вычитают (так как при пригонке фигур в смежных полотнищах часть обоев теряется).

Рассмотрим сначала, как вычисляется площадь п р ям о у г о л ь н о г о треугольника. Пусть требуется определить площадь треугольника ABC (черт. 89), в котором угол В – прямой. Проведем через вершины А и С прямые, параллельные противолежащим сторонам. Получим (черт. 90) прямоугольник ABCD (почему эта фигура – прямоугольник?), который делится диагональю АС на два равные треугольника (почему?). Площадь этого прямоугольника равна ah; площадь же нашего треугольника составляет половину площади прямоугольника, т. е. равна 1/2 ah. Итак, площадь всякого прямоугольного треугольника равна половине произведения его сторон, заключающих прямой угол.

Пусть теперь требуется определить площадь треугольника косоугольного (т. е. не прямоугольного), – напр. ABC (черт. 91). Проводим через одну из его вершин перпендикуляр к противоположной стороне; такой перпендикуляр называется в ы с о т о ю этого треугольника, а сторона, к которой он проведен – о с н о в а н и е м треугольника. Обозначим высоту через h , а отрезки, на которые она делит основание, через p и q . Площадь прямоугольного треугольника ABD, как мы уже знаем, равна 1/2 ph ; площадь ВDC = 1/2 qh . Площадь S треугольника ABC равна сумме этих площадей: [4] Далее мы прибегаем к равенству вида ху + xz = x(у + z). Оно вытекает из того, что умножить каждое слагаемое на какое-нибудь число значит умножить сумму; напр. 7 ? 3+8 ? 3 – (7 + 8) ? 3. S = 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h ( р + q ). Но р + q = а ; следовательно S = 1/2 ah .

Рассуждение это нельзя прямо применить к треугольнику с тупым углом (черт. 92), потому что перпендикуляр CD встречает не основание АВ , а его продолжение. В этом случае приходится рассуждать иначе. Обозначим отрезок AD через p, BD – через, q , так что основание а треугольника равна p – q . Площадь нашего треугольника АВС равна р а з н о с т и площадей двух треугольников ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h ( p – q ) = 1/2 ah .

Итак, во всех случаях площадь треугольника равна половине произведения любого его основания на соответствующую высоту.

Отсюда следует, что треугольники с равными основаниями и высотами имеют одинаковые площади, или, как говорят,

р а в н о в е л и к и.

Равновеликими вообще называются фигуры, имеющие равные площади, хотя бы сами фигуры не были равны (т. е. не совпадали при наложении).

Повторительные вопросы

Что называется высотою треугольника? Основанием треугольника? – Сколько высот можно провести в одном треугольнике? – Начертите треугольник с тупым углом и проведите в нем все высоты. – Как вычисляется площадь треугольника? Как выразить это правило формулой? – Какие фигуры называются равновеликими?

Применения

22. Огород имеет форму треугольника с основанием 13,4 м и высокою 37,2 м… Сколько (по весу) требуется семян, чтобы засадить его капустой, если на кв. м идет 0,5 грамма семян?

Р е ш е н и е. Площадь огорода равна 13,4 ? 37,2 = 498 кв. м.

Семян потребуется 250 г.

23. Параллелограмм разбивается диагоналями на 4 треугольные части. Какая из них имеет наибольшую площадь?

Р е ш е н и е. Все 4 треугольника равновелики, так как имеют равные основания и высоты.

Правило вычисления площади параллелограмма устанавливается весьма просто, если разбить его диагональю на два треугольника. Например, площадь параллелограмма ABCD (черт. 93) равна удвоенной пощади каждого из двух равных треугольников, на которые он разбивается диагональю АС. Обозначив основание треугольника ADC через а , а высоту через h , получаем площадь S параллелограмма

S = ah.

Перпендикуляр h называется «высотою параллелограмма», а сторона а, к которой он проведен, – «основанием параллелограмма». Поэтому установленное сейчас правило можно высказать так: