Яков Перельман - Живой учебник геометрии

П л о щ а д ь п а р а л л е л о г р а м м а р а в н а п р о и з в е д е н и ю л ю б о г о е г о о с н о в а н и я н а с о о т в е т с т в у ю щ у ю в ы с о т у.

Повторительные вопросы

Что называется основанием и высотою параллелограмма? Как вычисляется площадь параллелограмма? – Выразите это правило формулой. – Во сколько раз площадь параллелограмма больше площади треугольника, имеющего одинаковые с ним основание и высоту? – При равных высотах и основаниях какая фигура имеет большую площадь: прямоугольник или параллелограмм?

Применение

24. Квадрат со стороною 12,4 см равновелик параллелограмму с высотою 8,8 см. Найти основание параллелограмма.

Р е ш е н и е. Площадь этого квадрата, а следовательно и параллелограмма равна 12,42= 154 кв. см. Искомое основание равно 154: 8,8 = 18 см.

Кроме параллелограммов, рассмотрим еще один вид четырехугольников – именно те, которые имеют только о д н у пару параллельных сторон (черт. 94). Такие фигуры называются т р а п е ц и я м и. Параллельные стороны трапеции называются ее о с н о в а н и я м и, а непараллельные – б о к а м и.

Черт. 94 Черт. 95

Установим правило вычисления плошали трапеции. Пусть требуется вычислить плошать трапеции ABCD (черт. 95), длина оснований которой a и b . Проведем диагональ АС, которая разрезает трапецию на два треугольника ACD и ABC . Мы знаем, что

площ. ACD = 1/2 ah

площ. ABC = 1/2 bh .

Значит:

площ. ABCD = 1/2 ah + 1/2 bh = 1/2 ( a + b ) h .

Так как расстояние h между основаниями трапеции называется ее высотою, то правило вычисления площади трапеции можно высказать так:

П л о щ а д ь т р а п е ц и и р а в н а п о л у с у м м е о с н о в а н и й, у м н о ж е н н о й н а в ы с о т у.

Повторительные вопросы

Какая фигура называется трапецией? Что называется основаниями трапеции, ее боками и высотой? – Как вычисляется площадь трапеции?

Применения

25. Участок улицы имеет форму трапеции с основаниями 180 м и 170 м и высотою 8,5 м. Сколько деревянных шашек потребуется для его настилки, если на кв. м идет 48 шашек?

Р е ш е н и е. Площадь участка равна 8,5 Ч = (180 + 170)/ 2= 1490 кв. м. Число шашек = 72 000.

26. Скат крыши имеет форму трапеции, основания которой 23,6 м и 19,8 м, а высота 8,2 м. Сколько материала и рабочей силы потребуется на его покрытие, если на кв. м требуется:

Железных листов. . . . . . 1,23

Гвоздей кровельных кг. . . . 0,032

Олифы кг. . . . . . . . . .0,036

Кровельщиков. . . . . . . 0,45.

Р е ш е н и е. Площадь ската равна 8,2 ? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 кв. м. Остается умножить на 178 все числа таблички.

Фигуры, ограниченные более чем 4-мя линиями, назы ваются м н о г о у г о л ь н и к а м и (черт. 96). Прямые, соединяющие две несоседние вершины многоугольника, называются д и а г о н а л я м и (черт. 96, b ). Так как всякий многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники, то площадь многоугольника легко вычислить, найдя площадь каждой его треугольной части.

Если, например, план участка имеет форму многоугольника, то, проведя в нем диагонали, измеряют длину оснований и высот образовавшихся треугольников. По этим данным определяют площадь каждого треугольника, а зная это, вычисляют площадь составляемого ими многоугольника.

При измерении площади участка, ограниченного линией неправильной формы, приходится довольствоваться лишь приближенным результатом. Пусть требуется определить площадь фигуры, изображенной на черт. 97. Для этого проводят прямую АВ и через равные расстояния – к ней перпендикуляры. Фигура будет разрезана ими на узкие полосы, каждую из которых можно рассматривать как трапецию. Измерив параллельные стороны каждой трапеции, а также высоту (одинаковую для всех, потому что перпендикуляры проведены на равных расстояниях), вычисляют их площади; сумма отдельных площадей приближенно равна площади данной фигуры. Чем ближе проведены друг к другу перпендикуляры, тем точнее определение площади всей фигуры.

В некоторых случаях можно определить приближенно площадь фигуры посредством в з в е ш и в а н и я. Если, например, фигура, площадь которой требуется определить, начерчена на картоне, то, вырезав ее, узнают тщательным взвешиванием, во сколько раз эта фигура тяжелее сантиметрового квадрата из того же картона; во столько же раз, очевидно, больше и площадь. [5] О других способах определения площади многоугольника, применяемых в землемерии, будет сказано далее, в главе «Занятия на открытом воздухе».

До сих пор мы занимались только плоскими фигурами, т. е. такими, которые всеми своими точками расположены на плоскости. Плоскими поверхностями или плоскостями называются такие «поверхности, которые ровны и гладки, как поверхность зеркала или полированной доски; край линейки, приложенный в любом месте к плоскости, примыкает к ней всеми своими точками.

Теперь перейдем к фигурам, которые имеют не только длину и ширину, но также и высоту или толщину. Такие фигуры называются т е л а м и.

Начнем с рассмотрения наиболее общеизвестного тела – куба (черт. 98). Куб ограничен 6-ю равными квадратами, которые называются его г р а н я м и; стороны же граней называются р е б р а м и. Одна из особенностей куба та, что его противоположные грани лежат в плоскостях, которые не встречаются, сколько бы их ни продолжали; такие плоскости называются п а р а л-л е л ь н ы м и.

Чтобы склеить куб из бумаги (либо изготовить из жести), надо начертить его выкройку, или, как ее называют, «развертку». На черт. 99 изображена такая развертка куба для склеивания из бумаги (полоски у краев граней оставлены для клея).

Повторительные вопросы

Что называется плоскостью? Телом? Кубом? Гранями куба? Ребрами? – Сколько у куба граней? Сколько ребер? – Начертите развертку куба.