Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Заметим еще, что когда перпендикуляры к магистралям коротки – как на черт. 118 – их проводят на глаз, без эккера, и измеряют не мерной веревкой, а шагами.

Остается объяснить, как по полученным нами данным чертится план участка, т. е. как превратить имеющийся у вас набросок в аккуратно исполненный чертеж.

Чтобы изобразить на плане участок, показанный на черт. 117, проводят по линейке магистральную линию 1–2 и откладывают на ней, в заранее выбранном масштабе, расстояние 1-10, 1-15, 1-11, 1-12 и 1-16 и т. д., т. е. отмечают точки 10, 15, 11, 12, 16 и т. д. Через эти точки проводят, помощью чертежного треугольника, перпендикуляры и откладывают на них, в том же масштабе, расстояния: 10-3, 15-9, 11-4 и т. д. Когда это сделано, соединяют точки 1, 3, 4, 5… прямыми линиями или изогнутыми, делая изгибы такими, какими они изображены на черновом наброске; ошибка здесь может получиться лишь небольшая, потому что основные, поворотные точки границы нанесены вполне точно.

Сходным образом приходится поступать в тех случаях, когда магистрали составляют треугольник (см. черт. 119). Треугольник, длина всех трех сторон которого известна, строят, как объяснено в § 17. В случае сети из нескольких треугольников их строят последовательно, примыкая один к другому. Когда треугольники начерчены, остается только провести перпендикуляры и докончить чертеж, как объяснено было для других случаев.

В случае участка, представленного на черт. 118, начинают с прямоугольника, размеры всех сторон которого известны и которые поэтому нетрудно начертить (в масштабе). А когда это сделано, намечают на сторонах точки, через которые проведены перпендикуляры, и чертят их в масштабе. Дальше поступают, как в предыдущих примерах.

В полученных нами планах изображены только границы участка. Часто бывает нужно изобразить и положение различных подробностей внутри этих границ – колодца, большого дерева на лугу, строения и т. п. Сделать это нетрудно, если выполняя измерения границ, провести от этих предметов перпендикуляры к магистрали и измерить их длину, а также расстояние от точки пересечения обеих линий.

Задача съемки состоит не только в том, чтобы начертить план земельного участка, но и в том еще, чтобы определить его площадь. Нередко участок для того только и снимается на план, чтобы определить его площадь. Покажем, как определять площади участков, обмеренных указанными выше способами.

Рассмотрим сначала участок, изображенный на черт. 117. Он распадается на 9 частей, площади которых мы умеем вычислять, – если не строго точно, то приближенно. Фиг. 1-3-10 можно принять за треугольник; его основание и высота нам известны. Далее: соседняя часть (3-10-11-4) может быть рассматриваема как трапеция, у которой измерены параллельные стороны (3-10 и 4-11), а также и расстояние между их сторонами (10–11). Поэтому вычисление площади этой части фигуры тоже не составит труда.

Точно так же вычисляются площади прилегающих по порядку трапеций 4-11-12-5, 5-12-13-6, 6-13-14-7 и 15-9-8-16. Остальные части фигуры можно рассматривать как треугольники, для вычисления площади которых у нас тоже имеется достаточно данных.

Раз нам известна площадь каждой части фигуры, то сложив их вместе, определим площадь всего измеренного участка.

Переходя к черт. 118 видим, что здесь перед нами задача с такими же данными; только отдельных частей здесь больше. Все краевые участки надо отнять от площади наружного прямоугольника.

Площадь участка черт. 119 определяют подобным же образом. Затруднение представляет только вычисление площади треугольника АВС , так как высота его не была промерена, на местности. Но мы всегда можем измерить ее на чертеже, пользуясь масштабом плана. Так же поступают и в случае сети треугольников.

Наконец, в случае участка черт. 121 начинаем с вычисления площади охватывающего его многоугольника. Мы можем сделать, это, если разобьем его диагоналями на треугольники (§ 29), определив – пользуясь масштабом плана – длину их оснований и высот.

Другой способ состоит в том, что превращают многоугольник в равновеликий ему треугольник. Делается это следующим образом.

Пусть требуется превратить многоугольник АВСDE (черт. 122) в равновеликий треугольник. Проведя диагональ АС , проводят через вершину В прямую, параллельную АС , до пересечения в точке М с продолжением стороны АЕ : треугольник ABC равновелик треугольнику АМС , потому что у них общее основание АС и равные высоты (§ 26). Следовательно, четырехугольник СОЕ равновелик пятиугольнику ABCDE. Затем таким же приемом превращаем MCDE в равновеликий треугольник: проводим диагональ ЕС и через вершину D проводим DN параллельно ЕС до пересечения с продолжением МС в точке N. Треугольник ECD равновелик треугольнику ECN (почему?); следовательно, треугольник MNE равновелик пятиугольнику ABCDE . Определив теперь площадь треугольника MNE, мы тем самым находим искомую площадь многоугольника ABCDE .

Во время экскурсий план пройденного пути зачерчивают приблизительно с помощью так называемой маршрутной съемки. Производится она следующим образом. В месте выхода из города определяют по компасу направление, на ближайшую точку пути (отдаленное дерево, валун, верстовой столб, угол здания), наносят это направление по глазомеру на бумагу, записав при нем соответствующий «румб». Идя по этому направлению до замеченного предмета, измеряют расстояние шагами. Отложив по произвольному масштабу (на глаз) это расстояние по прочерченному направлению, с соответствующей числовой пометкой, определяют по компасу направление на следующий ближайший этап, измеряют расстояние шагами и т. д., отмечая все это на черновом плане. По этому наброску и сделанным пометкам (относительно направлений и расстояний) изготовляют дома более аккуратно маршрутный план экскурсии. Все замеченные по пути особые места, лежащие вне дороги, также могут быть нанесены на этот план, если были измерены направления на них из определенных точек и соответствующие расстояния.

Ту же работу можно выполнить более тщательно с помощью «планшета», т. е. дощечки с прикрепленным к ней компасом. К дощечке прикалывают кнопками лист бумаги, на котором и чертят план. Став в точку выхода, держат планшет горизонтально, повернув его так, чтобы вороненый конец стрелки показывал на юг. На планшет кладут трехгранную масштабную линейку, прикладывают ее край к точке, изображающей начальный пункт, и направляют ее так, чтобы, глядя вдоль ее верхней грани, видеть следующий пункт пути. Когда это сделано, прочерчивают прямую линию и откладывают на ней по масштабу отрезок, отвечающий длине этой линии в натуре. Перенеся затем планшет в следующий пункт, повертывают его как и в первый раз (так что все линии планшета на новом пункте остаются параллельными тому направлению, которое они имели на прежнем). Приставив край линейки к точке, изображающей место нахождения планшета, направляют ее на ближайший следующий пункт; измерив расстояние до него, откладывают на прочерченной линии в масштабе соответственную длину, переносят планшет на четвертый пункт и т. д.