Яков Перельман - Живой учебник геометрии

При прежней скорости течения – 0,4 метра в секунду, – получаем, что через сечение ежесекундно проносится

0,22 ? 0,4=0,09 куб. м =90 литров.

Количество протекающей воды принято называть расходом воды. То, что мы здесь вычисляли, есть «расход» воды в канаве. Расход воды в речке вычисляется совершенно таким же образом.

Пусть живое сечение реки имеет форму, указанную на черт. 127: АВ – ширина реки, DD 1 – глубина ее, измеренная в самом глубоком месте. СС 1 и ЕЕ 1 – глубины посредине между точкою D и берегами. Соединим точки A, С 1, D 1 , Е 1 и В прямыми линиями. Наша задача сводится к тому, чтобы вычислить площадь фигуры AC 1 D 1 Е 1 В . Фигура эта состоит из двух треугольников и двух трапеций. Определив площадь каждой из этих фигур в отдельности, найдем площадь всего живого сечения, а умножив ее на скорость течения, получим расход воды.

Заметим еще, что приемом, указанным раньше, определяется, как было уже упомянуто, не средняя скорость течения, а н а и б о л ь ш а я, т. е. скорость ее самых быстрых струй. В реках средняя скорость меньше этой наибольшей примерно на 1/4.

Часто нужно бывает определить, насколько одна точка земной поверхности выше или ниже другой. Это выполняется различными приемами, носящими общее название н и в е л и р о в а н и я.

Если точки А и В (черт. 128), высоты которых сравниваются, расположены недалеко одна от другой, то нивелирование можно выполнить помощью длинной, негнущейся планки и плотничьего ватерпаса (черт. 129). Планку кладут горизонтально так, чтобы один конец ее упирался в точку А , а другой подпирают отвесно поставленным колом С . Затем переносят планку дальше и кладут ее горизонтально так, чтобы один конец приходился у основания кола С , а другой опирался на новый кол. Так поступают до тех пор, пока не достигнут точки В , в которую должен быть вбит последний кол. Измерив тогда высоту всех кольев, складывают их и таким образом узнают, на сколько точка А лежит выше В .

Способ этот очень хлопотлив и применим только для небольших расстояний. Нивелирование на большом расстоянии выполняют иначе, – именно при. помощи особого прибора, называемого нивелиром (черт. 130). Устройство прибора несложно: две отвесные трубки, сообщающиеся посредством соединительной трубки, установлены на треноге. В трубки налита вода; так как она в обоих сосудах стоит на одинаковом уровне, то прямая AD, проходящая через оба уровня, должна быть горизонтальна.

Разность высот точек А и В (черт. 131) определяют помощью нивелира так. Помещают нивелир в промежуточную точку С , а в точку А ставят отвесно рейку, разделенную на дециметры и сантиметры (черт. 132). Вдоль рейки ходит дощечка, которую подвигают до тех пор, пока ее средняя линия не будет видна наблюдателю у нивеллира на одной линии с обоими уровнями воды в сосудах. Заметив положение дощечки, переносят рейку в точку В, не изменяя положения нивеллира. Дощечку снова помещают на одной высоте с уровнями воды в сосудах. Разность высот дощечки покажет, насколько разнятся высоты точек А и В.

Если требуется определить высоту целого ряда точек местности (В, С, D на черт. 133) над или под горизонтальной плоскостью, проходящей через А , то поступают следующим образом. Поместив нивелир между А и В , находят высоту А над В , как сейчас было объяснено. Затем, перенеся нивелир между В и С , находят высоту В над С . Сложив обе разницы в высотах, находим возвышение А над С . Подвигаясь таким образом дальше, мы доходим до точки Е , которая выше предыдущей точки D . Ясно, что тогда надо будет ее соответственно уменьшить разность высот А и D чтобы узнать возвышение точки А над Е . Таким путем к концу работы определятся разности высот для всех точек нивелируемого «профиля» ABCDEF .

Короче говоря, надо сложить отдельно все показания при взглядах вперед и все показания при взглядах назад, и из первой суммы вычесть вторую. В результате получим возвышение конечной точки над начальной; отрицательный результат покажет, насколько конечная точка ниже начальной.

Разность высот конечных точек А и F можно найти и не производя вычислений для каждой промежуточной точки. Обозначим положение дощечки на рейке в точке А через а ; в точке В – через b при взгляде вперед и через b 1, при взгляде назад; в точке С – через с и с 1, в точке D – через d и d 1 и т. д. Чтобы найти разность высот А и F мы произвели следующие действия:

[ b – а ] + [ с – b 1] + ( d – с 1) – ( е – d 1) – [ е 1 – f ].

Раскрыв скобки, имеем

b – а + с – b 1 + d – с 1 – е – d 1 – е 1 – f

или

b + с + d + е + f – [ а + b 1 + с 1 + d 1 + е 1].

С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.

Предварительные упражнения

Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС , a AD – равноделящая угла А .

Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?

Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и

в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.

Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС . Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С , лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А , она разобьет ABC на два треугольника: АDB и АDС , которые равны между собой ( СУС ). По этому угол В , лежащий против AD , равен углу С , лежащему против той же общей стороны.