Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Аналогична ли G Черепашья цепочка в «Приношении MU»? Не совсем. Аналогичней с Черепашьей цепочкой будет ~G. Почему это так? Давайте подумаем! Что говорит ~G? Она должна утверждать обратное строчке G. G говорит: «G — не теорема ТТЧ»; следовательно, ~G должно читаться «G — теорема ТТЧ». Мы можем перефразировать обе эти строчки следующим образом:

G: «Я не теорема (ТТЧ)»

~G: «Мое отрицание — теорема (ТТЧ)»

Именно ~G параллельна Черепашьей цепочке, так как она говорит не о себе самой, но о той цепочке, что Черепаха дала Ахиллу сначала — цепочке, на которой была завязана дополнительная неточка (или на одну неточку меньше, чем надо — это зависит от точки зрения).

В своем коротком стихотворении о MU Джошу, Мумон проник в Мистерию Ультранеразрешимости глубже всех:

Есть ли у собаки природа Будды?

Это самый серьезный вопрос из всех.

Если вы ответите да или нет,

Вы утратите собственную природу Будды.

Триплеты «GEB» и «EGB»

Рис. 54. М. К. Эшер. «Лист Мёбиуса II» (гравюра на дереве, 1963).

Ахилл и Черепаха пришли в гости к Крабу, чтобы познакомиться с его другом Муравьедом. После того, как новые знакомые представлены друг другу, вся четверка садится за чай.

Черепаха : Мы вам кое-что принесли, мистер Краб.

Краб : Очень любезно с вашей стороны, но зачем же было утруждаться?

Черепаха : О это так, мелочь — в знак нашего уважения. Ахилл, отдайте, пожалуйста, подарок м-ру К.

Ахилл : С удовольствием. С наилучшими пожеланиями, м-р К. Надеюсь, что вам понравится.

(Ахилл протягивает Крабу элегантно завернутый пакет, квадратный и плоский Краб начинает его разворачивать).

Муравьед : Интересно, что это такое?

Краб : Сейчас узнаем (Кончает разворачивать и вытаскивает подарок). Две пластинки! Прекрасно! Но погодите-ка здесь нет этикетки. Неужели это снова ваши «особые» записи, г-жа Ч?

Черепаха : Если вы имеете в виду разбивальную музыку, на этот раз нет. Но эти записи действительно уникальны, так как они сделаны по персональному заказу. На самом деле, их еще никто никогда не слышал — кроме, конечно Баха, когда тот их играл.

Краб : Когда Бах их играл? Что вы имеете в виду?

Ахилл : Вы будете вне себя от счастья, м-р Краб, когда г-жа Ч объяснит вам, что это за пластинки.

Черепаха : Почему бы вам самому этого не рассказать, Ахилл? Не стеснятесь, говорите!

Ахилл : Можно? Вот здорово! Но я лучше загляну сначала в свои записи (Вытаскивает бумажку и откашливается ) Кхе-кхе. Желаете послушать рассказ о замечательных новых результатах в математике — результатах, которым ваши пластинки обязаны своим существованием?

Краб : Мои пластинки восходят к каким-то математическим выкладкам? Как интересно! Что ж, теперь, когда вы задели мое любопытство, я просто обязан об этом узнать.

Ахилл : Отлично! (Делает паузу, чтобы отхлебнуть чай, затем продолжает) Кто-нибудь из вас слышал о печально известной «Последней Теореме» Ферма?

Муравьед : Не уверен. Звучит знакомо, но не могу припомнить.

Рис. 55. Пьер Де Ферма

Ахилл : Идея очень проста. Пьер де Ферма, адвокат по профессии и математик по призванию, однажды, читая классический текст Диофанта «Арифметика», наткнулся на следующее уравнение:

a² + b² = c²

Он тут же понял, что это уравнение имеет бесконечно много решений для а , b , и с, и написал на полях свою знаменитую поправку:

Уравнение:

а n + b n = с n

имеет решение в положительных целых числах а , b , с , и n только при n = 2 (и в таком случае имеется бесконечное множество a , b , и c , удовлетворяющих этому уравнению), но для n >2 решений не существует. Я нашел замечательное доказательство этого, которое, к несчастью, не помещается на полях.

С того дня и в течение почти трехсот лет математики безуспешно пытаются сделать одно из двух: либо доказать утверждение Ферма и таким образом очистить его репутацию, в последнее время слегка подпорченную скептиками, не верящими, что он действительно нашел доказательство — либо опровергнуть его утверждение, найдя контрпример: множество четырех целых чисел а , b , с , и n , где n > 2, которое удовлетворяло бы этому уравнению. До недавнего времени все попытки в любом из этих двух направлений проваливались. Точнее, теорема доказана лишь для определенных значений n — в частности, для всех n до 125 000.

Ахилл : Не лучше ли тогда называть это Гипотезой вместо Теоремы, поскольку настоящее доказательство еще не найдено?

Ахилл : Строго говоря, вы правы, но по традиции это зовется именно так.

Краб : Удалось ли кому-нибудь в конце концов разрешить этот знаменитый вопрос?

Ахилл : Представьте себе, да: это сделала г-жа Черепаха, как всегда, в момент гениального озарения. Она не только нашла ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Последней Теоремы Ферма (оправдав, таким образом, ее название и очистив репутацию Ферма), но и КОНТРПРИМЕР, показав, что интуиция скептиков их не подвела!

Краб : Вот это да! Поистине революционное открытие.

Муравьед : Прошу вас, не тяните: что это за магические числа, удовлетворяющие уравнению Ферма? Мне особенно любопытно узнать значение n .

Ахилл : Ах, какой ужас! Какой стыд! Верите ли, я оставил все выкладки дома на громаднейшем листе бумаги. К несчастью, он был слишком велик, чтобы принести его с собой. Хотел бы я, чтобы он был сейчас здесь и чтобы можно было вам все показать. Но кое-что я все же помню: величина n — единственное положительное число, которое нигде не встречается в непрерывной дроби числа π.

Краб : Какая жалость, что у вас нет с собой ваших записей. Так или иначе, у нас нет оснований сомневаться, что все, что вы нам сказали — чистая правда.

Муравьед : Да и кому, в конце концов, нужно видеть n в десятичной записи? Ахилл же объяснил нам, как найти это число. Что ж, г-жа Черепаха, примите мои сердечные поздравления по поводу вашего эпохального открытия!

Черепаха : Благодарю вас. Однако практическая польза, которую немедленно принес мой результат, кажется мне еще важнее теоретического открытия.