Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

СХЕМА АКСИОМ: x u-r x является аксиомой, когда x — строчка, состоящая из тире.

ПРАВИЛО ВЫВОДА: Предположим, что x , у , и z — строчки тире, и что x u y rz — старая теорема. Тогда x u y - r zx будет новой теоремой.

Ниже приводится вывод теоремы --u---r------

(1) --u-r-- (аксиома)

(2) --u--r---- (по правилу вывода, используя (1) в качестве старой теоремы)

(3) --u---r------ (по правилу вывода, используя (2) в качестве старой теоремы)

Обратите внимание, что количество тире в средней строке возрастает на единицу каждый раз, когда мы применяем правило вывода, таким образом, мы можем предсказать, что если мы хотим получить теорему с десятью тире в середине, нам придется применить правило вывода девять раз подряд.

Умножение (немного более сложное понятие, чем сложение) теперь уловлено нами в сети типографских правил, подобно птицам в Эшеровском «Освобождении». А как же насчет простых чисел? Следующий план кажется неплохим: используя систему ur, определить новое множество теорем вида S x , которые характеризуют составные числа

ПРАВИЛО: Предположим, что x , у , z — строчки тире. Если x - u y - r z является теоремой, то S z также будет теоремой.

Это означает, что Z (число тире в z) является составным, если оно — произведение двух чисел, больших единицы (а именно, X+1 — число тире в x - и Y+1 — число тире в y - ). Я объясняю вам это новое правило в «интеллектуальном режиме», поскольку вы, как существо мыслящее, желаете знать, почему такое правило существует. Если бы вы работали исключительно в «механическом режиме», вам бы не понадобились никакие объяснения, так как работающие в режиме Mследуют правилам чисто механически, никогда не задавая вопросов, и при этом совершенно счастливы!

Поскольку вы работаете в режиме I, вы будете склонны забывать о различии между строчками и их интерпретацией. Ситуация может стать довольно запутанной, как только вы обнаружите смысл в символах, которыми вы манипулируете. Вам придется бороться с собой, чтобы не решить, что строчка « ---» — то же самое, что число 3. Требование формальности, казавшееся совершенно очевидным в главе I, здесь становится весьма каверзным и приобретает первостепенную важность Именно оно не дает вам спутать режим Iс режимом M, иными словами, оно не позволяет вам смешивать арифметические факты с типографскими теоремами.

Весьма соблазнительно от теорем типа S сразу перескочить к теоремам типа P, путем введения следующего правила

ПРЕДЛОЖЕННОЕ ПРАВИЛО: Предположим, что x — строчка тире. Если S x не является теоремой, то P x является теоремой.

Роковая ошибка здесь заключается в том, что проверка «нетеоремности» S x — не типографская операция. Чтобы узнать наверняка, что MU— не теорема MIU, нам пришлось бы выйти из системы ; в такую же ситуацию мы попадаем и с Предложенным Правилом. Оно подрывает сами основы формальных систем тем, что предлагает вам действовать неформально, вне системы. Типографская операция (6) позволяет вам рассматривать предварительно выведенные теоремы; однако Предложенное Правило отсылает вас к гипотетической «таблице не-теорем». Чтобы получить подобную таблицу, вам придется работать вне системы , показывая, почему некоторые строчки не могут быть получены в данной системе. Конечно, может оказаться, что существует другая формальная система, в которой «таблица не-теорем» может быть получена чисто типографскими способами. На самом деле, наша цель — найти именно такую систему.Однако Предложенное Правило — не типографское, а посему нам придется от него отказаться.

Это настолько важный момент, что мы остановимся на нем поподробнее. В нашей системе S (включающей систему urи правила, определяющие теоремы типа S) у нас есть теоремы вида S x , где x , как обычно, обозначает строчку тире. В ней имеются также не-теоремы вида S x. Говоря о не-теоремах, я имею в виду именно эту разновидность, хотя, конечно, существует множество не-теорем в виде неправильно сформированных строчек: u u-S r r и пр. Между теоремами и не-теоремами есть следующая разница: количество тире в первых — составное число, во вторых — простое. К тому же, все теоремы похожи по форме, так как все они выведены при помощи одного и того же набора типографских правил. Можем ли мы сказать, что в этом смысле все не-теоремы также имеют что-то общее в форме? Ниже приводится список теорем типа S, без их вывода. Число в скобках указывает на количество тире в соответствующей теореме.

S ---- (4)

S ------ (6)

S -------- (8)

S --------- (9)

S ---------- (10)

S ------------(12)

S --------------(14)

S --------------- (15)

S ---------------- (16)

S ------------------ (18)

.

.

.

«Дырки» в этом списке как раз и являются не-теоремами. Есть ли у них какая-то общая «форма»? Можно ли предположить, что лишь постольку, поскольку они являются пробелами в неком упорядоченном списке, они обладают какими-то общими чертами? И да, и нет. Нельзя отрицать, что у них есть общие типографские черты; вопрос в том, правомочно ли называть эти черты «формой». Дело в том, что дырки определены только негативно: они представляют из себя то, что осталось от позитивно определенного списка.

Это напоминает известное разграничение между рисунком и фоном в живописи. Когда предмет или «положительное пространство» (например, человеческая фигура, буква или натюрморт) рисуется внутри рамки, неизбежным следствием этого является появление на картине дополняющей формы, также называющейся «фоном», или «негативным пространством». В большинстве картин отношение между фоном и рисунком почти не играет роли; как правило, художник в основном занят рисунком. Однако иногда его внимание привлекает также и фон.

Существуют замечательные шрифты, обыгрывающие это различие между рисунком и фоном. Послание, написанное таким шрифтом, приводится ниже. На первый взгляд это просто несколько клякс; но если вы посмотрите на них издали, попристальнее, то увидите семь букв на этом РИСУНКЕ (специальным шрифтом, так, что черный фон, создающий белые буквы, похож на кляксы.)

Рис. 15. Рисунок