Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА: В фантазию можно внести любую теорему из «реальности» одним уровнем выше и использовать ее там.

ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ: Если x и < x э y > — теоремы, то у — также теорема.

ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИИ: < x э y > и <~ y э ~ x > взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА: <~ x Λ ~ y > и ~< x V y > взаимозаменяемы.

ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ: < x V y > и <~ x э y > взаимозаменяемы.

Под «взаимозаменяемостью» здесь понимается следующее: если одно из двух выражений встречается в виде теоремы или части теоремы, оно может быть заменено на второе, и результат также будет теоремой.

Прежде чем рассматривать эти правила в действии, я хочу их коротко пояснить. Вы, вероятно, можете придумать примеры получше; поэтому я ограничусь только несколькими.

Правило контрапозиции показывает то, каким образом мы перевертываем условные предложения (обычно мы делаем это бессознательно). Например, буддистское изречение о Тропе — дороге к Мудрости:

Если вы изучаете ее, то вы далеко от Тропы,

означает то же самое, что

Если вы близко к Тропе, то вы ее не изучаете.

Правило Де Моргана может быть проиллюстрировано на примере хорошо знакомого нам высказывания «Флаг не движется и ветер не движется». Если Pозначает «флаг движется» и Q— «ветер движется», то комбинированное высказывание будет < ~PΛ ~Q>, которое, согласно правилу Де Моргана, может быть заменено на ~< P V Q>: «Неверно, что флаг или ветер движутся». Никто не станет оспаривать, что это весьма осмысленное дзен-ключение…

Для иллюстрации правила замены возьмем высказывание «Либо туча зависла над горой, либо лунный луч проникает сквозь волны озера» — фраза, которую мог бы произнести дзен-буддистский мастер, пытаясь мысленно увидеть любимое озеро. Теперь держитесь крепче: правило замены утверждает, что это высказывание может быть заменено на мысль «Если туча не зависла над горой, то лунный луч проникает сквозь волны озера.» Это, может быть, и не Просветление, но это большее, что исчисление высказываний может нам предложить.

Теперь давайте приложим эти правила к одной из предыдущих теорем и посмотрим, что у нас выйдет. Возьмем, к примеру, теорему < Pэ ~~P>:

< Pэ ~~P> старая теорема

< ~~~Pэ ~P> контрапозиция

< ~Pэ ~P> двойная тильда

< PV ~P> замена

Новая теорема в интерпретации утверждает, что:

Либо этот разум Будда, либо этот разум не Будда .

Интерпретированная теорема снова оказалось истинным (хотя, может быть, и не таким уж удивительным) высказыванием.

Читая вслух теоремы исчисления высказываний, кажется естественным интерпретировать все, кроме атомов. Я называю это частичной интерпретацией . Например, частичной интерпретацией< P V ~ P> было бы:

P или не P

Хотя Pздесь и не высказывание, приведенное полувысказывание все же звучит как истинное, поскольку мы можем легко вообразить на месте Pлюбое предложение — и форма этой частичной интерпретации уверяет нас, что, независимо от нашего выбора, результатом будет истинное высказывание. Именно это — центральная идея исчисления высказываний: оно производит теоремы, которые, будучи частично интерпретированными, производят «универсально истинные полувысказывания». Независимо от того, как мы дополним интерпретацию, у нас получатся истинные суждения.

Теперь мы можем проделать более сложное упражнение, основанное на дзен-буддистстком коане под названием «Топор Ганто». Вот его начало:

Однажды Токусан сказал своему ученику Ганто «В нашем монастыре есть два монаха, которые прожили здесь много лет. Иди и проверь их». Ганто взял топор и пошел в хижину, где монахи занимались медитацией. Он поднял топор со словами. «Если вы скажете хоть одно слово, я отрублю вам головы; и если вы не скажете ни слова, я все равно отрублю вам головы». [13] Gyomay M. Kubose «Zen Koans» стр. 178

Если вы скажете хоть одно слово, я прерву этот коан; и если вы не скажете ни слова, я все равно прерву этот коан — поскольку хочу перевести его в нашу нотацию. Пусть «вы скажете слово» будет P, а «я отрублю вам головы» — Q. Тогда угроза Ганто записывается как << Pэ Q>Λ< ~Pэ Q>>. Что, если бы эта угроза являлась бы аксиомой? Ответом на этот вопрос служит следующая фантазия:

(1) [проталкивание

(2) << Pэ Q>Λ< ~Pэ Q>> аксиома Ганто

(3) < Pэ Q> разделение

(4) < ~Qэ ~P> контрапозиция

(5) < ~Pэ ~Q> разделение

(6) < ~Qэ ~~P> контрапозиция

(7) [снова проталкивание

(8) ~Qпосылка

(9) < ~Qэ ~P> перенос строки 4

(10) ~Pотделение

(11) < ~Qэ ~~P> перенос строки 6

(12) ~~Pотделение (строки 8 и 11)

(13) < ~PΛ ~~P> объединение

(14) ~< PV ~P> Де Морган

(15) ]выталкивание

(16) < ~Qэ ~< PV ~P>> правило фантазии

(17) << PV ~P> э Q> контрапозиция

(18) [проталкивание

(19) ~Pпосылка (и результат!)

(20) ]выталкивание

(21) < ~Рэ ~Р> правило фантазии

(22) < P V ~P> правило замены

(23) Q отделение (строки 22 и 17)

(24) ]выталкивание

Этот пример показывает, насколько мощно исчисление высказываний. Всего лишь за 24 шага мы логически вывели, что Q— иными словами, головы будут отрублены! (Зловещая примета: последнее использованное нами правило было правилом «отделения»…) Теперь, скажете вы, нет смысла продолжать коан, так как исход уже известен. Однако я передумал и не буду его прерывать — в конце концов, это настоящий дзен-коан! Итак, вот конец этого рассказа:

Оба монаха продолжали медитировать как ни в чем не бывало, словно они ничего не слышали. Тогда Ганто опустил топор и воскликнул: «Вы — настоящие дзен-буддисты!» Затем он вернулся к Токусану и рассказал о случившемся. «Я понимаю вашу идею», — сказал тот, — «но скажите мне, какова их идея?» «Тозан мог бы принять их в ученики, — ответил Ганто, — но они не должны быть приняты в ученики Токусаном». [14] Там же стр. 178

Понимаете ли вы мою идею? А как насчет идеи дзена?