Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Предупреждение «НЕ КУРИТЬ», висящее в кинотеатре, не относится к актерам, играющим в фильме: реальный мир не проникает в фантастический мир фильмов. Однако в исчислении высказываний существует не только воздействие реального мира на фантазии, но и фантазий на вложенные в них более глубокие фантазии. Это свойство отражено в следующем правиле:

ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА: В фантазию можно внести любую теорему из «реальности» одним уровнем выше и использовать ее там.

Это похоже на то, если бы табличка «НЕ КУРИТЬ» относилась не только к зрителям, но и ко всем актерам, и далее, к актерам «фильмов в фильме», если бы таковые имелись. (Внимание: переноса в обратном направлении не существует — теоремы из фантазии не приложимы к реальному миру! Иначе мы могли бы выдумать любую первую строчку фантазии и «вынести» ее в реальный мир в качестве теоремы.)

Чтобы показать, как действует правило переноса и как правило фантазии может быть применено рекурсивно, приведу следующий вывод:

[проталкивание

Pпосылка внешней фантазии

[снова проталкивание

Qпосылка внутренней фантазии

Pперенос Pво внутреннюю фантазию

< PΛ Q> объединение

]выталкивание из внутренней фантазии во внешнюю

< Qэ< PΛ Q>> правило фантазии

]выталкивание из внешней фантазии в реальный мир!

< Pэ< Qэ< PΛ Q>>> правило фантазии

Обратите внимание на то, что для внешней фантазии я отступил на один абзац, в то время как для внутренней — на два; этим подчеркивается природа вставленных один в другой «уровней реальности». О правиле фантазии можно сказать, что оно вводит суждение, сделанное о системе, внутрь самой системы. Таким образом, можно сказать, что полученная нами теорема < x э y > — отображение внутри системы суждения о ней самой: «Если x — теорема, то у — также теорема». Более конкретно, < Pэ Q> интерпретируется как «если P, то Q» или, что одно и то же, «из Pследует Q».

В Диалоге Льюиса Кэрролла шла речь о высказываниях типа «если… то». В частности, Ахилл никак не мог убедить Черепаху принять за истинную вторую часть «если… то» высказывания, даже когда она приняла за истинные как все высказывание целиком, так и его первую часть. Следующее правило позволяет вам вывести вторую часть строчки «э», в том случае, если сама эта строчка и ее первая часть обе являются теоремами.

ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ: Если x и < x э y > — теоремы, то у — также теорема.

Это правило часто зовется «Modus ponens», а правило фантазии — «Теоремой дедукции».

Довольно загадок! Пора вытащить кота из мешка и открыть «значение» всех остальных символов нашей системы, если это вам еще не ясно. Итак, символ «Λ» действует в точности также, как обыкновенное «и». Символ « ~» заменяет слово «не» в формальном отрицании. Уголки «<���» и «>» являются группирующими скобками — их функция весьма напоминает функцию обычных скобок в алгебре. Основное различие в том, что в алгебре мы свободны вводить или не вводить скобки, согласно нашему вкусу и стилю, в то время как в формальной системе подобная анархия не допускается. Символ «V» заменяет слово «или» (по латыни «Vel»). Имеется в виду так называемое включающее «или»; это означает, что < x V y > читается как « x или у — или оба сразу».

Единственные символы, которые мы еще не интерпретировали, это атомы. У них нет единственной интерпретации — их можно интерпретировать, как любое высказывание русского языка (если атом встречается несколько раз в одной и той же деривации, он должен быть интерпретирован всегда одинаково). Таким образом, например, правильно сформированная строчка < PΛ ~P> может быть интерпретирована следующим образом:

Этот разум — Будда, и этот разум — не Будда .

Давайте теперь вернемся к теоремам, которые мы вывели до сих пор, и постараемся их интерпретировать. Первая теорема была < Pэ ~~P>. Если интерпретировать Pвсегда одинаково, то мы получим следующее высказывание:

Если этот разум — Будда, то неверно, что этот разум — не Будда .

Обратите внимание, как я сформулировал двойное отрицание. В любом натуральном языке неловко повторять отрицание два раза — мы обходим это препятствие, выражая отрицание по-разному. Вторая наша теорема была << PΛ Q>э< QΛ P>>. Пусть Q— высказывание «Этот огурец весит полкило»; тогда наша теорема читается как:

Если этот разум — Будда и этот огурец весит полкило, то этот огурец весит полкило и этот разум — Будда.

Третьей теоремой была < P э< Qэ< PΛ Q>>>. Она разворачивается в структуру «если … то» с вложением:

Если этот разум — Будда то, если этот огурец весит полкило, то этот разум — Будда и этот огурец весит полкило .

Вы вероятно, заметили, что каждая теорема, будучи интерпретированной, выражает что-либо совершенно тривиальное и самоочевидное. (Иногда теоремы бывают настолько самоочевидными, что кажутся бессмысленными — и даже, как это ни парадоксально, ложными!) Может быть, это вас не впечатляет; но вспомните, сколько ложных высказываний, кишмя кишащих кругом, мы могли бы вывести — но не вывели. Система исчисления высказываний аккуратно ступает от истины к истины, осторожно избегая всех ложных высказываний, подобно человеку, который, переходя ручей и желая остаться сухим, осторожно ступает с камня на камень, следуя выложенной «тропинке», как бы извилиста она не была. Удивительно то, что в исчислении высказываний все делается исключительно типографским путем . «Внутри» системы нет никого, кто бы думал о значении строчек. Здесь все делается строго механически и бездумно.

Мы еще не привели всех правил исчисления высказываний. Их полный список, включая три новые правила, приведен ниже.

ПРАВИЛО ОБЪЕДИНЕНИЯ: Если x и у — теоремы системы, то строчка < x Λ y > — также теорема.

ПРАВИЛО РАЗДЕЛЕНИЯ: Если < x Λ y > — теорема, то и x и у — также теоремы.

ПРАВИЛО ДВОЙНОЙ ТИЛЬДЫ: Строчка « ~~» может быть выброшена из любой теоремы. Она также может быть вставлена в любую теорему, если при этом получается правильно сформированная строчка.

ПРАВИЛО ФАНТАЗИИ: Если, принимая x за теорему, можно вывести у , то < x э y > является теоремой.