Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная

Рассмотрим пример: систему невзаимодействующих частиц, движущихся по классическим траекториям. Каждой частице в момент времени t соответствуют свои координаты и проекции импульса. Таким образом, каждой точке видимого пространства соответствует значение вектора импульса. Можно рассматривать движение системы частиц в этом пространстве, не придавая совокупности импульсов никакого геометрического смысла. Кроме того, можно полагать, что вся совокупность координат играет роль базы, а векторы импульсов — слоев. При отсутствии взаимодействия подобное расслоенное пространство тривиально, а использование в данном случае образа расслоенного пространства и его несколько непривычных для физиков понятий — ненужное усложнение. Разумнее рассматривать изолированно два пространства: конфигурационное (координаты) и импульсное.

Однако ситуация меняется, если пытаться интерпретировать внутренние квантовые числа элементарных частиц. Здесь мы остановимся на геометрической интерпретации спина, изотопического спина и цвета (об этих квантовых числах см. Дополнение).

Введем вектор, характеризующий состояние системы, которую для определенности мы будем отождествлять с частицей. В первом приближении под состоянием следует понимать значения ее координат и вектора импульса.

Однако если пытаться включить в понятие состояния значения внутренних квантовых чисел, то элементарная (привычная) наглядность состояния частицы утрачивается. Если понятие спина частицы можно отождествить с вращением вектора состояния в обычном конфигуральном пространстве (например, пространстве Минковского), то уже при попытке наглядно геометрически интерпретировать изотопический спин возникают определенные трудности. Формализмы обычного и изотопического спинов тождественны. Они соответствуют вращениям вектора состояния в трехмерном пространстве`. В интерпретации спина проблем нет. Это наше привычное евклидово пространство. Однако в каком пространстве вращается вектор изотопического спина? Со времен введения понятия изотопического спина (Гейзенберг, 1932) произносили слова, похожие на заклинание: вектор изотопического спина вращается в воображаемом «зарядовом» пространстве. [12] На теоретико-групповом языке изотопический и обычный спины соответствуют неприводимым представлениям группы SU(2) (SU — аббревиатура слов: специальная, унитарная. Символ 2 обозначает, что группа соответствует двумерному комплексному пространству).

Однако, используя язык расслоенных пространств, этому заклинанию можно придать некоторый физико-геометрический смысл. Допустим, что изотопическое пространство является слоем над базой — пространством Евклида (Минковского). Иначе говоря, мы представляем реальное физическое пространство как расслоенное пространство с базой — видимым пространством и слоем — изотопическим (зарядовым) пространством. Нам нужно, чтобы свойства этого слоя удовлетворяли двум условиям: 1) слой должен быть трехмерной сферой (аналог пространства, в котором вращается вектор обычного спина), 2) размеры этой сферы должны быть очень малы, во всяком случае, много меньше расстояний 10**-16 см, хорошо изученных на опыте. Если бы радиус слоя превышал 10**-16 см, то слой изотопическое пространство — проявлялся бы на экспериментах, в основе которых лежат представления о реальном физическом пространстве. Этот эффект, например, проявлялся бы в отклонении наблюдаемого сечения рассеяния позитронов на электронах от вычисленного значения сечения. Поскольку такое отклонение отсутствует, то следует сделать вывод, что если изотопическое пространство и реально, то его размеры (размеры слоя) весьма малы. В дальнейшем, в гл.3, мы оценим эти размеры.

Исключительная малость размеров изотопического пространство делает в известном смысле иллюзорной попытку провести грань между словами «реальное» и «воображаемое» пространство. На опыте это пространство ненаблюдаемо, а слова: «изотопическое пространство есть слой над базой видимое пространство» — имеют в значительной степени филологические смысл.

≡=РИС. 5

Подобная квалификация кажется тем более оправданной, поскольку простая геометризация изотопического спина никак не увязывается с взаимодействием частиц. Чтобы реализовать связи в треугольнике геометрия — изотопический спин взаимодействие, нужна руководящая идея. Пока мы ограничимся постулированием такой идеи, а в гл.3 подробно изложим аргументы в ее пользу.

В настоящее время представляется, что основой сформулированного выше «треугольника» является калибровочная инвариантность. В качестве предварительного оправдания подобного постулата можно привести довод: калибровочная симметрия (правда, в различных модификациях) лежит в основе четырех известных взаимодействий.

Можно наглядно (но упрощенно) представить геометрическую интерпретацию изотопического спина (рис. 5). К каждой точке прямой «прикреплена» сфера произвольного (единичного) радиуса, в которой вращается вектор состояния, зависящий от координаты. Разумеется, реально точка базового пространства имеет три, а не одно измерение, однако представить наглядную 4-мерную конструкцию невозможно.

Для понимания дальнейшей процедуры геометризации взаимодействия нужно четко представить следующие положения:

1. Взаимодействие обуславливается свойствами частиц переносчиков взаимодействия, и в частности их изотопическим спином (см. Дополнения).

2. Состояние представляется вектором, вращающимся в слое расслоенного пространства.

3. Взаимодействие определяется характеристиками расслоенного пространства, и в частности связностью.

4. В основе взаимодействия лежит калибровочная инвариантность.

Эти положения носят программный характер. Дальнейшее представляет их конкретную реализацию. Для простоты ограничимся вначале электродинамикой. Как упоминалось ранее, уравнения электродинамики однозначно определяются характеристиками фотона — частицы, переносящей электромагнитное взаимодействие. Масса и изотопический спин фотона равны нулю. Это обстоятельство приводит к фазовой инвариантности функции состояния

i ALPHA(x) PSIG'(x) — > e|||||||||| Ψ(x) и калибровочной инвариантности потенциалов A'(x) — > A(x) + ∂ f (x) / ∂ x. Важно, что в формуле для преобразования функция ALPHA(x) простое (хотя, возможно, и комплексное) число, а не матрица. Это свойство определяется нулевым значением изотопического спина фотона. Если бы изотопический спин частицы-переносчика был отличен от нуля, то коэффициент ALPHA представлялся бы матрицей, что кардинально изменяло бы ситуацию. Этот случай будет рассмотрен далее.