Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Полевое уравнение Эйнштейна просто записать (при использовании достаточно богатого символического языка), но исключительно трудно решить. Тем не менее одно решение было найдено в течение нескольких месяцев после его первого появления в печати. Одним из немногих положительных событий во время Первой мировой войны было то, что служивший в России немецкий математик Карл Шварцшильд (1873-1916) нашел решение для области, лежащей снаружи от массы сферической формы, как, например, космическое пространство вокруг звезды или планеты, и решение внутри сферической однородной массы. Он умер несколько месяцев спустя, освобожденный от военной службы и пораженный редким кожным заболеванием, но термины решение Шварцшильда и радиус Шварцшильда дали ему подлинное бессмертие. Еще одно решение было найдено в 1934 г. Х.П. Робертсоном и Д.Г. Уолкером для пространства-времени всех изотропных, однородных равномерно расширяющихся моделей Вселенной.

Давайте вообразим движение от центра однородной Земли в наружное пространство и представим себе форму пространства-времени. Чтобы проделать это, представим себе расположение в пространстве шести точек, связанных с углами восьмигранника (рис. 9.16). Внутри Земли кривизна пространства-времени является полностью «сжатой», в том смысле, что шесть точек восьмигранника лежат ближе друг к другу, чем в пустом пространстве. Это как если бы пространство-время внутри Земли сплющивалось.

Рис. 9.16.Приливные силы гравитации можно определить, рассматривая силы на шести пробных массах, укрепленных в углах восьмигранника. Две массы, расположенные вдоль направления, ведущего от центра Земли (или другого массивного тела), оттаскиваются друг от друга, а четыре массы на серой плоской поверхности стягиваются друг к другу. Это характеристики решения Шварцшильда для внешней области. Внутри Земли, в геометрии, задаваемой решением Шварцшильда для внутренней области, все массы стягиваются друг к другу.

Такое поведение является проявлением решения Шварцшильда для уравнения Эйнштейна в случае внутренней области сферической однородной массы. Мы можем представлять себе, что линии свободного падения лежат ближе друг к другу внутри Земли, а четырехмерное пространство-время имеет положительную кривизну — как сфера — с одинаковыми значениями на каждой двумерной плоскости с одной пространственной и одной временной осью координат. Кривизна на каждой плоскости в области с однородной плотностью постоянна, и в некоторой степени мы можем представлять себе ее похожей на кривизну листа резины в области вокруг покоящегося на нем тяжелого шара (рис. 9.17).

Рис. 9.17.Влияние массивного тела искривляет пространство подобно влиянию тяжелого шара, помещенного на резиновую поверхность. Частицы движутся по геодезической (одна из которых показана в виде жирной белой линии). Поскольку геодезические изгибаются на поверхности пространства-времени, устойчивое движение вдоль них для наблюдателя может выглядеть как путь частицы, притягивающейся к тяжелому телу. Если бы мы могли показать временное измерение также, мы увидели бы, что можем наблюдать явления, которые можно интерпретировать как ускорение и замедление тела, приближающегося к области тяжелой массы и удаляющегося от нее.

Когда множество из шести точек прорывается сквозь поверхность Земли и выходит во внешнее пустое пространство, решение Шварцшильда для внутренней области уступает место решению для области внешней. Теперь геометрия пространства-времени является «приливной», в том смысле, что две точки на линии, перпендикулярной к поверхности, движутся друг от друга вдвое быстрее, чем движутся друг к другу четыре точки, лежащие в плоскости, параллельной поверхности, так, что объем, заключенный между ними, остается постоянным. Мы можем представить себе влияние на пространство как растяжение в одном направлении (вдоль направления, указывающего на вносящую искажение массу) и сплющивание в двух перпендикулярных направлениях. Приливным эффектом без сомнения можно пренебречь: приливный эффект на Земле достаточен для того, чтобы исказить сферическую форму весьма неподатливой Луны всего на 1 км. Приливы в наших океанах как раз и являются проявлением влияния Луны на геометрию пространства-времени у поверхности Земли, с проявляющимся дважды в день вспучиванием геометрии на линии Земля-Луна. Поэтому, когда вы стоите на берегу и созерцаете спад и подъем прилива, вы наблюдаете тень геометрии Шварцшильда, пробегающую по поверхности Земли. Король Канут Великий [47](994?-1035) не смог удержать геометрию в бухте.

Мы можем приписать кривизне численное значение. Радиальная кривизна (кривизна плоскости с одной осью вдоль радиального направления, а другой временной) равна −2 × масса / радиус 3 , где радиус есть расстояние рассматриваемой точки от центра сферической концентрации массы (звезды или планеты, рис. 9.17). Заметим, что эта кривизна является отрицательной (седлообразной), в точности как на листе резины в области вне зоны, где покоится шар. Каждая из двух плоскостей с одной осью вдоль направления, перпендикулярного радиальному, а другой временной, имеют кривизну, равную масса / радиус 3 . Эта кривизна положительна, поэтому мы можем представлять себе каждую из этих двумерных поверхностей похожей на поверхность сферы. Эти значения кривизны сохраняют объем 3-куба, поскольку растяжение в одном направлении компенсируется более слабым сжатием в двух перпендикулярных направлениях. Более того, кривизна тем меньше, чем больше мы удаляемся от центра Земли, и на больших расстояниях от Земли пространство-время является плоским.

Еще одной чертой геометрии Шварцшильда является замедление хода часов, расположенных вблизи массивного объекта. Значение доли замедления по отношению к ходу часов, находящихся далеко от массивного тела, равно масса / расстояние , где расстояние есть расстояние от центра массивного тела. Если бы мы рассматривали влияние массы Земли на часы, помещенные в самолет, мы должны были бы принять в расчет, что они идут быстрее, чем часы на уровне моря (потому что самолет немного дальше от центра Земли, и его область пространства-времени немного меньше искривлена), но время бежит медленнее из-за того, что самолет находится в движении. Масса Земли мала, поэтому влияние движения коммерческих авиалайнеров мало. Тем не менее в кругосветном путешествии на высоте 10 000 м со скоростью 850 км/час гравитационный эффект ускоряет часы примерно на 0,2 микросекунды, в то время как влияние скорости замедляет их только на 0,05 микросекунды. Проверка общей теории относительности, проводимая таким методом, в реальности принимает в расчет влияние посадки и взлета, так же как изменения скорости самолета во время полета.