Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Рис. 6.4.Два из возможных способов укладки в трехмерном пространстве. Верхняя диаграмма показывает сложенные вместе кубические элементарные ячейки («кусочки сахара»). Нижняя диаграмма показывает элементарные ячейки («спичечные коробки»). Всего существует семь форм элементарных ячеек, которые можно уложить таким образом, чтобы получить периодическую структуру. Сами по себе элементы могут содержать объекты, влияющие на общую симметрию: мы показали внутренности двух коробков, показывающие, что чередующиеся коробки содержат спички, указывающие в разные стороны.

Сколько трехмерных узоров существует? Мы можем обнаружить различные симметрии, задавая различные вопросы. В раннем примере техники трансдукции, упомянутой в связи с с атомной гипотезой Дальтона, французский минеролог и священник Рене-Жюст Гаюи (1743-1822) предположил в 1784 г. в своем Essai d'une théorie sur la structure des chistaux , что внешняя форма кристаллов отражает устройство их мельчайших единиц. Он пришел к этой точке зрения, когда уронил особенно красивый кристалл кальцита (прозрачная кристаллическая форма карбоната кальция, мела) и обнаружил, что он распался на маленькие кусочки, по форме повторяющие оригинал. Редкий случай, когда разрушение привело к столь хорошему результату. Мы теперь называем маленькие блоки, которые, будучи сложены вместе без использования вращений, заполняют все пространство, элементарными ячейками . Элементарные ячейки могут быть кубическими (как кусочки сахара), прямоугольными, с одной стороной отличной от двух других, прямоугольными, с тремя различными сторонами (как спичечные коробки), или скошенными так, что, хотя противоположные грани и параллельны (они должны быть такими для того, чтобы элементарные ячейки могли заполнить все пространство), они не перпендикулярны к соседним граням. Оказывается, что существует только семь базовых форм этих элементарных ячеек.

Так же как мы идентифицировали пять сетей для обоев, отмечая положение точек, в которых потом можно расположить мотивы, мы проделаем это и для элементарных ячеек. Результирующие расположения точек, допустимые в трех измерениях, называются решетками Браве , в честь французского альпиниста, искателя приключений и физика Огюста Браве (1811-63), который первым составил их перечень в 1850 г. Оказалось, что их существует всего четырнадцать (рис. 6.5). Где бы вы ни увидели объекты, сложенные вместе для заполнения пространства регулярным образом, такие как консервные банки в ящиках, слои яиц в корзинках и фрукты в витринах, они все соответствуют одному из этих четырнадцати расположений.

Рис. 6.5.Трехмерными аналогами сетей для обоев являются решетки Браве. В трех измерениях существует четырнадцать решеток Браве. Можно прикреплять к каждой точке объекты различными способами, но таких способов существует не более 230.

Так же как мы можем получить семнадцать основных видов обоев, помещая различными способами в сеть точек мотив (вертикальные павлины, чередующиеся павлины и так далее), мы можем прикрепить мотив (такой, как рисунок на крышке спичечного коробка или способ, которым в нем уложены спички) к каждой точке решетки Браве. Тщательное рассмотрение возникающих здесь узоров показывает, что существует всего 230 возможных способов их организаций . Я осознаю, что слово «всего» здесь кажется не очень уместным; но дело в том, что это число конечно и определено точно: это число не равно 228 или 229; оно в точности равно 230. Эти способы организации называются пространственными группами. Все возможные трехмерные, заполняющие пространство периодические структуры соответствуют этим 230 пространственным группам. Упаковка одинаковых, недекорированных спичечных коробков со спичками, указывающими в одном направлении, соответствует одной пространственной группе, а упаковка тех же спичечных коробков тем же способом, но со спичками в соседних коробках, указывающими попеременно в разных направлениях, соответствует другой пространственной группе.

Бакалейщик, выкладывающий на витрине апельсины, бессознательно моделирует способы, которыми природа складывает вместе атомы, чтобы получить кристаллы, и именно здесь симметрия и вдыхающие в нее жизнь пространственные группы становятся важным орудием исследования и классификации. Во-первых, мы можем увидеть в витрине бакалейщика, что из однородно уложенных сфер может возникнуть поверхность, близкая к плоской. Плоская поверхность отдельного кристалла металлического элемента, например цинка или меди, представляет собой одну из поверхностей такого рода. Здесь не место входить в детали того, как именно атомы и молекулы пакуются вместе, чтобы дать в результате один из 230 возможных способов организации, допускаемых симметрией, но небольшой привкус этого все же получить можно.

Если мы будем представлять себе атомы в виде твердых сфер, подобных шарообразным опорам, мы сможем вообразить слой этих атомов, лежащих близко друг к другу, в котором каждая сфера окружена шестью соседями (максимально возможным числом для одинаковых сфер). Новый слой можно образовать, кладя атом в каждое из углублений первого слоя (рис. 6.6). Третий слой можно сформировать любым из следующих двух способов. В первом мы кладем атомы в углубления, лежащие над положениями атомов в первом слое; во втором мы кладем их в углубления, которые лежат над местами соприкосновения атомов первого слоя. Если мы обозначим слои буквами A, B, C…, то первое расположение будет выглядеть как ABABAB, а второе как ABCABC…. Если вы внимательно рассмотрите первую конфигурацию сфер, вы сможете обнаружить гексагональную систему, гексагональную элементарную ячейку. Во второй конфигурации вы сможете обнаружить кубическую систему (ее немного труднее обнаружить, поскольку кубы отклоняются от плоскостей). Эти два вида упаковки атомов дают кристаллы с разными симметриями. Среди металлов, образующих гексагональные элементарные ячейки, содержатся кобальт, магний и цинк. Металлы, образующие кубические элементарные ячейки, включают серебро, медь и железо.

Рис. 6.6.Две регулярные структуры, которые можно построить, укладывая вместе твердые сферы (представляющие атомы) насколько возможно плотно. На нижнем уровне (светло-серый) каждая сфера находится в контакте с шестью соседями. Обозначим этот уровень буквой A. На среднем уровне (серый) сферы лежат в углублениях первого уровня. Обозначим этот уровень буквой B. Если сферы следующего слоя (темно-серый) лежат в углублениях второго слоя, которые находятся прямо над сферами первого слоя, образуя структуру ABA, то мы получаем гексагональную систему (в верхней части). Если сферы лежат в углублениях, которые не находятся непосредственно над сферами слоя A, то мы получаем конфигурацию ABC, имеющую кубическую симметрию.