Питер Эткинз - Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Хаммурапи пришлось продолжить приведение в порядок измерений в своем царстве и дальше. Не все поля в его царстве имели одинаковые размеры, и его землемеры представляли списки сторон и диагоналей, которые, даже выраженные в метрах, выглядели, на его взгляд, не намного отличающимися от случайных. Например, один богатый землевладелец имел поле со сторонами 960 м и 799 м и диагональю 1249 м, а другой, более бедный землевладелец имел поле со сторонами 60 м и 45 м и диагональю 75 м. И тогда наш фиктивный, но блистательный Хаммурапи внезапно вскрикнул (по-шумерски) эврика . Он увидел, что, если для каждого из его полей, безотносительно к размерам, он возведет в квадрат длины его сторон и сложит два квадрата вместе, то результат будет равен квадрату длины диагонали. То есть все измерения, собранные его землемерами, удовлетворяют формуле:

расстояние 2 = сторона 1 2+ сторона 2 2 ,

где расстояние есть длина диагонали. Будучи экономным правителем, он мог теперь приказать своим землемерам экономить время и заработную плату и измерять только стороны полей, поскольку длину диагоналей он мог узнать сам. Конечно, он понимал, что, даже если они будут настаивать на использовании причудливых единиц этого царства, он все равно сможет узнавать длину диагонали, записав:

расстояние 2 = (C × сторона 1) 2+ сторона 2 2 ,

где C — множитель, необходимый, чтобы перевести ярды в метры, одна из глубоко чтимых фундаментальных констант этого царства.

Здесь мы можем отступить от нашей мифической версии Хаммурапи, с его формулой, его эффективностью и его налогами. Более важно, что вечная польза, для которой он предназначал эту формулу, заключается в том, что он идентифицировал выражение, некоторым образом передающее свойства пространства Месопотамии. Неизвестный индиец, написавший Сульвасутру (Правила веревок), расчеты для таинственных сакральных церемоний священнослужителей ведической эры (около 500 лет до н.э.), тоже знал эту формулу, поскольку брахманы нуждались в надежно спроектированном и построенном прямоугольном алтаре. Китайцы Чжан Цан и Цин Чоу-чан, составившие в период Хань (начавшийся в 200 г. до н.э.) сборник, содержавший математические сведения, тоже знали ее.

Как мы увидим, существование частной формулы для расстояния между двумя точками соответствует существованию геометрии , описанию пространства в терминах точек, линий, плоскостей и объемов, которые могут существовать в нем. Чтобы определить геометрию пространства, в котором мы обитаем, надо определить формулу. Определение геометрии пространства Месопотамии, данное Хаммурапи, потребовало двух шагов. Сначала мы должны определить единицы вдоль различных координатных осей; затем мы должны найти формулу, которая задает расстояние между двумя точками. Из того, что такая же величина C годится для Индии и Китая, следует, что пространство в Индии и Китае имеет ту же геометрию, что и пространство Месопотамии. Доказательство того, что формула Хаммурапи пригодна для любого поля всюду во Вселенной, а не только в Месопотамии, возможно, было сделано Пифагором и его школой, но надежные свидетельства того, что они сделали нечто большее, чем просто использовали ее, отсутствуют. Чтобы найти доказательство этой теоремы, мы должны обратиться к Началам Евклида, написанным примерно 2300 лет назад и с тех пор воспроизводимым, но причин полагать, что ее доказал сам Евклид, не существует.

Евклид обнаружил, что он может вывести характеристики пространства, включая дедуктивную формулу Хаммурапи, из пяти простых и кажущихся очевидными утверждений, из своих «аксиом». Это было поистине замечательным достижением. Если бы я писал эту книгу 2000 лет назад, я обязательно включил бы аксиомы Евклида в число великих идей науки, поскольку, если не считать одного маленького дефекта, они удовлетворяют критериям, предъявляемым великой идее: они просты, но содержат неограниченно богатые следствия. Дефект, конечно, заключается в том, что они неверны (в том смысле, что они неточно описывают пространство, в котором мы обитаем); но мы можем ненадолго пренебречь этим и воздать Евклиду почести, которые он заслужил.

Евклид сжал свое описание пространства в следующие пять замечаний:

1. Между любыми двумя точками можно провести прямую.

2.Прямая линия без ограничений может продолжаться в любом направлении.

3. Можно построить круг с любым центром и любого радиуса.

4. Все прямые углы равны друг другу.

5. Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку одну, и только однупрямую, параллельную данной.

(Я несколько упростил эти утверждения, но сохранил их суть.) Пятая аксиома известна как постулат о параллельных прямых . Он ответственен за большее количество бед, чем почти любое другое утверждение в математике, ибо он имеет более сложный вид по сравнению с другими, соблазнительно намекая, что его можно доказать с помощью четырех более простых аксиом. Целые жизни напрасно были растрачены на безуспешные попытки вывести эту аксиому из других. Теперь мы знаем, что она независима от других аксиом и что можно придумать абсолютно приемлемые геометрии, в которых постулат о параллельных прямых заменен другими, таким, например, как:

5'.Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, нельзя провести через эту точку ни однойпрямой, параллельной данной.

Или даже:

5''.Для любых данных прямой и точки, не лежащей на ней, можно провести через эту точку бесконечное числопрямых, параллельных данной.

Описание пространства, использующее постулат Евклида о параллельных прямых, называется евклидовой геометрией; описания, основанные на альтернативных постулатах, называются неевклидовыми геометриями.

Пока что мы сосредоточимся на евклидовой геометрии, так как она, безусловно, выглядит подходящей для пространства, в котором мы живем. В тринадцати книгах Евклида показано, что из этих пяти аксиом может быть выведено огромное количество свойств, и эти свойства оказываются верными при их проверке с помощью практических измерений. Одним из следствий этих аксиом, и, в частности, постулата о параллельных прямых, является теорема Пифагора. Поэтому существование нашей мифической формулы Хаммурапи для расстояния вытекает из пяти аксиом Евклида, и геометрия Хаммурапи тоже является евклидовой.

Итак, мы сформулировали евклидову геометрию на плоскости, в плоской двумерной области, похожей на поверхность листа бумаги. Однако мы все знаем, или думаем, что знаем, что обитаем в трехмерном пространстве и обладаем свободой движения вверх и вниз так же, как по плоскости. Теорему Пифагора легко распространить на три размерности, включив длину третьей стороны и записав: