Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Рис 15.1.Измерение расстояний методом триангуляции.

Но мы знаем, что аксиомы евклидовой геометрии согласуются с представлением о прямой как о натянутой нити, поэтому геодезист при вычислении расстояний AC и BC смело использует евклидову геометрию. Предположим теперь, что полученные геодезистом расстояния все же оказались неверными. Как это могло произойти? Луч света, идущий из точки C в точку A, мог распространяться по траектории, показанной на рис. 15.1 пунктиром; при этом, чтобы поймать световой «зайчик», геодезисту приходилось наводить теодолит в точке A по касательной к описываемой лучом света траектории. Следовательно, теодолит мог быть наведен на точку C', хотя геодезист видел точку C, и вместо угла CAB он измерил угол C'AB. В этом случае применение евклидовой геометрии могло бы дать неверные значения расстояний AC и BC.

Итак, возникает вопрос: по какому пути распространяются лучи света? Иногда они распространяются по «настоящим» (обычным) прямым, иногда изгибаются вследствие рефракции в атмосфере. Предположим, что геодезист определил расстояния AC и BC неверно. Не имея никаких оснований считать лучи света искривленными, он тем не менее счел их таковыми и в своих вычислениях обращался с отрезками AC и BC как с криволинейными. Введя надлежащие поправки в измерения углов в пунктах A и B, геодезист мог бы воспользоваться евклидовой геометрией и получить правильные значения расстояний AC и BC.

Приведем еще один пример, поясняющий тезис Пуанкаре о том, что математику можно подогнать под физическую реальность; этот пример касается вращения Земли. По мнению Пуанкаре, вращение Земли необходимо принять как физический факт, так как в астрономии это допущение приводит к более простой математической теории рассматриваемых явлений. Действительно, простота математической теории была единственным аргументом, который Коперник и Кеплер смогли привести в пользу гелиоцентрической системы по сравнению со старой геоцентрической системой Птолемея.

Развитая Пуанкаре философия науки обладает несомненным достоинством. Мы действительно пытаемся обходиться возможно более простой математикой и изменять в случае необходимости физические законы так, чтобы наши умозаключения находились в согласии с физическими фактами. Но современные физики и математики используют в качестве критерия простоту математической и физической теории в целом. И если для получения простейшей комбинированной [физико-математической] теории нам придется воспользоваться неевклидовой геометрией, как это сделал Эйнштейн в своей теории относительности {180}, то мы пойдем на это.

Хотя объяснение эффективности математики, предложенное Пуанкаре, было более подробным, в определенных пределах он считал верным и кантовское объяснение, а именно ту его часть, где говорится, что согласие между математикой и природой создается человеческим разумом. Так, в «Ценности науки» Пуанкаре утверждает:

Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения — нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее, видящего, чувствующего ее. Такой внешний мир, если бы даже он и существовал, никогда не был бы нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло бы быть общо всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами.

Есть и другое, несколько туманное, возможно, чрезмерно упрощенное объяснение эффективности математики. Согласно этому объяснению, существует объективный физический мир и человек стремится согласовать с ним свою математику. Мы вносим необходимые коррективы, когда приложения обнаруживают неточности математического описания или прямые ошибки в нашей математике. Подобную точку зрения Гильберт высказал в докладе на II Международном математическом конгрессе в 1900 г.:

А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова настаивает на своих правах: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математического знания. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистой мысли мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким путем наилучшим образом продвигаем вперед новые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленной гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей знания.

В более простых (и в наше время менее правдоподобных) объяснениях эффективности математики повторяются тезисы, которые математики выдвигали с античных времен и примерно до середины XIX в. И сейчас находятся люди, продолжающие верить в то, что природа устроена на математических началах. Скрепя сердце им приходится признать несовершенство прежних математических теорий, созданных для объяснения физических явлений. В то же время такие люди полагают, что при непрерывном усовершенствовании математические теории могут не только охватить более широкий круг явлений, но и достигнуть более тонкого согласия с наблюдениями. Так, механика Ньютона пришла на смену механике Аристотеля, а специальная теория относительности внесла поправки в ньютоновскую механику. Разве из исторического развития науки не следует, что окружающий нас мир основан на неких определенных принципах и что человеческий разум все более приближается к их познанию? Именно такое объяснение взаимосвязи между математикой и естествознанием дал Шарль Эрмит:

Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, — точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба — творение господа бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики — с другой.

В письме к Лео Кёнигсбергеру Эрмит добавил, что «эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств».