Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Рационалисты Декарт и Лейбниц были глубоко верующими людьми, но в их философских и научных системах богу отводилось весьма ограниченное место. В частности, Декарт (а вслед за ним в еще более отчетливой форме Лейбниц) считал бога «гарантом истинности логики», так как ее аксиомы (как и любые другие математические аксиомы!) не доказываются, а принимаются на веру.

Католический монах Марен Мерсенн (1588-1648) не был особенно крупным ученым (хоть его имя сохранилось в современной теории чисел); однако организующая роль его в науке XVII в. была огромной: в эту эпоху отсутствия научных журналов Мерсенн был своего рода центром оживленной переписки ученых и у него всегда можно было получить информацию о текущих успехах математиков разных стран.

В этом отношении позиции рационалистов Декарта и Лейбница, с одной стороны, и мистика Ньютона, с другой, были принципиально различными (ср. гл. III).

Заметим, что древнегреческие ученые классического и эллинистического периодов, следуя метафизическим установкам элейской школы и Аристотеля стремились полностью изгнать из геометрии движение: если сам перечень доказанных Фалесом (или его последователями) теорем, приводимый последующими авторами, свидетельствует об определяющей роли соображений симметрии и движений в дедуктивной геометрической системе ионийцев, то у Евклида использование движений в геометрии было старательно сведено к возможному минимуму.

Слово «геометрия» служило в античный период синонимом слова «математика» еще и в силу специфических условий развития науки в Древней Греции: ведь, не имея рациональной системы счисления и правил записи чисел (не говоря уж об алгебраической символике!), греки даже алгебраические теоремы и понятия часто вынуждены были излагать на геометрическом языке. Величайший авторитет греческой науки привел к тому, что в течение тысячелетий, когда первоначальные причины отождествления геометрии со всей математикой уже отпали, люди по-прежнему зачастую именовали математику геометрией (ср. также ниже прим. {26}).

Декарт также преобразовал и модернизировал алгебраическую символику, придав математическому языку ту форму, которой придерживались элементарные учебники чуть ли не до самых последних десятилетий; это демократизировало всю математическую науку и облегчило приобщение к ней большего количества людей.

Характерно, что в последние годы своей жизни Паскаль (как позже и Ньютон) полностью оставил науку, целиком обратившись к теологии и моральной философии. Нам кажется, что равный вклад, внесенный в науку XVII в. рационалистами (Галилей, Декарт, Гюйгенс, Лейбниц), верящими во всемогущество человеческого разума, и мистиками (Кеплер, Паскаль, Ньютон), более полагающимися на озарение, чем на строгую логику, напоминает об ограниченности формально-логического подхода к природе и о существовании двух взаимно-дополнительных путей постижения истины: дискурсивного и интуитивного (по этому поводу см. например, [32]).

Сегодня нас может удивить, что Галилей считал «буквами» того языка, на котором записаны все законы природы, «треугольники, окружности и другие геометрические фигуры». Но ведь единственной математикой, доступной Галилею, была геометрия древних греков, а до открытия дифференциального и интегрального исчисления (в значительной степени стимулированного трудами Галилея) и возникновения концепции дифференциального уравнения оставалось еще больше с полвека.

В XIII в. решающее значение эксперимента для точного знания постулировал английский монах-францисканец Роджер Бэкон (ок. 1214-1299), взгляды которого, однако, полностью противоречили мировоззрению его времени, что определило трагический характер жизни Р. Бэкона.

Кант И. Сочинения в 6-ти томах, т. 6. — М.: Мысль, 1966, с. 59.

Резкая полемика между Ньютоном и Гуком по поводу приоритета в открытии закона (1) всемирного тяготения оставляет столь тягостное впечатление еще потому, что целиком относящийся по своей научной идеологии к «доньютоновскому» периоду великий ученый Гук так, видимо, и не понял, что его претензии на это выдающееся открытие были неосновательными. Гук выписал формулу (1), исходя из чисто умозрительных соображений: «ясно», что гравитационная сила, создаваемая массой M, должна быть пропорциональна M ; с другой стороны, поскольку на расстоянии r от массы эта сила равномерно распространяется по сфере площади 4πr 2, то сила в каждой точке этой сферы должна быть обратно пропорциональна r 2. То, что эти чисто эвристические соображения могут лишь подсказать ответ, но никак не доказать его, Гуку понять было не дано.

Надо иметь в виду, что под «натуральной философией природы» во времена Ньютона понимали физику, так что латинское название великого труда Ньютона можно перевести как «Математические основы физики».

Напомним, что М. Фарадей (1791-1867) и даже Д.К. Максвелл (1831-1879) в аналогичной ситуации, а именно в своем истолковании электромагнитных явлений, исходили из механистических объяснений сил притяжения и отталкивания заряженных тел, опирающихся на фиктивные «силовые трубки» в (несуществующем) эфире, что исключало необходимость апелляция к дальнодействию. [Впрочем, эти ошибочные объяснения физической природы явлений не помешали названым великим ученым пройти к правильным выводам, в частности к знаменитым уравнениям Максвелла, дающим исчерпывающее количественное описание рассматриваемых феноменов.]

Классик английской литературы С. Джонсон (1709-1784) более всего прославился как составитель первого научного «Словаря английского языка» (1755), ввиду чего его часто называют «великим лексикографом».

В «Оптике» [22] Ньютон все же обратился к физическим объяснениям; однако, как мы знаем теперь, они не были адекватны реальным процессам и, кроме того, не охватывали весь комплекс оптических явлений.

Оживленная дискуссия между Д. Бернулли, Эйлером и Д'Аламбером по поводу исследования колебаний струны (в которой каждый из этих трех выдающихся ученых был несогласен с двумя другими) связана с тем, что в XVIII в. не было еще полной ясности относительно определения понятия функции : дискуссия весьма способствовала внесению ясности в этот важный вопрос.

Ясно, что создатели гидродинамики Эйлер и Д'Аламбер ничего не знали о так называемых турбулентных течениях с нерегулярным, случайным характером движения отдельных частиц жидкости (для создания теории таких течений тогда еще не существовало подходящего математического аппарата); игнорирование этого обстоятельства приводило их даже к некоторым парадоксам, в то время неразрешимым.