Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Лобачевский и Гаусс независимо осознали, что геометрия реального (физического) пространства может быть как евклидовой, так и неевклидовой. (Бойаи, заинтересованного в первую очередь в, так сказать, «логическом статусе» новой геометрии, эта постановка вопроса занимала меньше.)

Ее чаще называют сферической — трехмерную сферическую (или удвоенную эллиптическую) геометрию можно трактовать как геометрию (трехмерной) сферической поверхности шара четырехмерного евклидова пространства.

Впоследствии Феликс Клейн рассмотрел еще одну простую неевклидову геометрию, родственную удвоенной эллиптической геометрии, но отличающуюся от нее тем, что здесь уже любые две прямые пересекаются в одной точке. Клейн назвал такую геометрию просто эллиптической. [Риман, который рассматривал строение геометрий лишь в «малом», в окрестности одной точки пространства, не ставил вопроса о глобальной структуре введенных им пространств; именно это и позволяет — как весьма часто делают — считать его создателем и эллиптической геометрии. — Ред. ]

Хорошо известно, как страдал Лобачевский от непризнания его работ в официальных кругах, в частности в Российской академии наук; не получил никакого признания и Appendix Я. Бойаи. Характерно также, что еще в 1869-1870 гг. видный французский математик, академик Жозеф Бертран (1822-1900) печатал в «Докладах» Парижской академии наук свои «опровержения» неевклидовой геометрии, к которым он относился с полной серьезностью.

Типичная для 2-й половины XX в. «арифметизация математики», попытка построить все математические дисциплины на, казалось бы, незыблемом фундаменте арифметики, обычно связывается с главой берлинской математической школы Карлом Вейерштрассом (1815-1897) и другими берлинскими математиками [Леопольдом Кронекером (1823-1891), Георгом Фробениусом (1849-1917), Эрнстом Куммером (1810-1893) и др.].

И даже ранее: векторный характер перемещений, скоростей, сил был по существу знаком еще античным ученым; само это представление, как и «правило параллелограмма» сложения векторов, сложилось еще в школе Аристотеля; широко использовал это представление и Архимед.

В наши дни термин «гиперкомплексные числа» все более вытесняется (странным) термином алгебра: под этим словом понимают как целую ветвь математики, так и, в более узком смысле, совокупность гиперкомплексных чисел определенного рода.

Проективная геометрия занимается изучением свойств, общих для всех фигур, получающихся при проектировании одной фигуры на различные плоскости. Так, если держать круг перед ярким фонарем, то он будет отбрасывать тень на экран или на стену. Форма тени будет изменяться в зависимости от наклона круга. Тем не менее окружность и контуры теней (эллипсы, гиперболы, параболы) обладают общими геометрическими свойствами.

Математический вариант теории электромагнитного поля был создан Дж.К. Максвеллом, который, по выражению Р. Милликена, «облек плебейски обнаженные представления Фарадея в аристократические одежды математики». [Создатель описательной теории электромагнетизма, самоучка М. Фарадей, весьма далекий от математики, был, кстати сказать, одним из немногих физиков, кто сразу же высоко оценил первые публикации Максвелла.]

Платон делил Вселенную на «мир видимый», куда относится все реально существующее и «мир умопостижимый», но не видимый и не осязаемый, к которому он относил, в частности, математику и искусство [см., например, «Государство» Платона ([7], с. 317 и далее)].

Как мы уже отмечали, Евклид, следуя математическим установкам Аристотеля, пытался обойтись в геометрии без всякого использования движений (что ему, кстати сказать, полностью так и не удалось).

Любое нечетное число представимо в виде 2n + 1, где n — некоторое целое число. Квадрат нечетного числа (2n + 1) 2= 4n 2+ 4n + 1 = 2(2n 2+ 2n) + 1 — нечетное число.

Своеобразным отражением этого является, в частности, тот факт, что в «Началах» так называемый алгоритм Евклида в одинаковых выражениях описывается два раза: один раз — для чисел и второй раз — для отрезков.

Возможно, эту формулу знал еще Архимед. — Ред.

За единицу площади здесь принимается квадрат со стороной, равной единице длины. — Ред.

Формулы для решения в целых числах «пифагорова уравнения» x 2+ y 2= z 2 обычно приписываются Платону, но реально они, безусловно, были известны ранее, скажем в школе пифагорейцев. Выдающийся знаток вавилонской математики, ученик Д. Гильберта Отто Нейгебауэр (р. 1899) предположил даже, что эти формулы (разумеется, без строго логического их обоснования) были известны еще в древнем Вавилоне, ибо иначе становится совершенно загадочной обнаруженная Нейгебауэром древневавилонская клинописная глиняная табличка, содержащая список ряда первых решений этого уравнения.

Диофантовым анализом (см. по этому поводу: Башмакова и Славутин [34]) обычно называют теорию решений неопределенных уравнений (т.е. уравнений, содержащих более одного переменного) в целыхчислах, тогда как Диофанта интересовала родственная проблема отыскания рациональныхрешений подобных уравнений.

Почти одновременно с шотландцем Джоном Непером и независимо от него к идее логарифмов пришел швейцарский часовщик Иобст Бюрги (1552-1632).

Теория Евдокса — Евклида содержала почти безупречное определение иррациональных чисел (которым придавалось обличие отношений отрезков) и условий их равенства — но, разумеется, проблемы логического обоснования действий над иррациональными числами здесь не были доведены до того уровня, который приобрели они в математике 2-й половины XIX в.

Любопытно, что открытая Декартом и по сей день сохранившая его имя кривая, описываемая уравнением x 3+ y 3− 3xy = 0, ныне рисуется вовсе не так, как это делал Декарт, считавший, что x и y должны быть только положительными; при этом мы по-прежнему называем эту кривую «декартов лист», хотя, если не ограничиваться одними лишь положительными значениями абсциссы и ординаты, рассматриваемая кривая утрачивает форму листа, какую она имела на чертежах Декарта.

В этой связи уместно вспомнить строки из У.Г. Одена: