Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Рис. 4.2.Вариант аксиомы о параллельных, предложенный Джоном Плейфером.

Все аксиомы, предлагавшиеся вместо пятого постулата, на первый взгляд казались проще аксиомы Евклида, но при более внимательном рассмотрении оказывались не более удовлетворительными. Многие из них, в том числе и аксиома Плейфера, содержали утверждения, касающиеся не ограниченной части плоскости или пространства, а всего (бесконечного!) пространства. С другой стороны, аксиомы, предлагавшиеся взамен пятого постулата, которые не содержали прямого упоминания о «бесконечности» — например, аксиома о том, что существует два подобных, но не равных треугольника, — были слишком сложными и, во всяком случае, не были более предпочтительными, чем аксиома о параллельных, приведенная в «Началах» Евклида.

Вместе с тем были предприняты попытки решить проблему параллельных, доказав пятый постулат Евклида, исходя из остальных девяти аксиом. Наиболее значительные результаты здесь получил Джироламо Саккери (1667-1733), священник, член ордена иезуитов и профессор университета в Павии. Идея Саккери состояла в том, чтобы, заменив аксиому Евклида о параллельных ее отрицанием, попытаться вывести теорему, которая бы противоречила одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных — единственную аксиому, вызывавшую сомнения, — ложна, а следовательно, аксиома о параллельных Евклида истинна и является следствием девяти остальных аксиом.

Приняв за исходную аксиому Плейфера, эквивалентную аксиоме Евклида о параллельных, Саккери сначала предположил {45}, что через точку P, лежащую вне прямой l (рис. 4.3), не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l . Из этой аксиомы и девяти остальных аксиом, принятых Евклидом, Саккери вывел противоречие. Затем Саккери испробовал вторую и единственно возможную альтернативу, предположив, что через точку P проходят по крайней мере две прямые p и q, не пересекающиеся с прямой l , сколько бы их ни продолжали.

Рис. 4.3.Аксиома, принятая основоположниками неевклидовой геометрии (Саккери и др.).

Исходя из этой аксиомы, Саккери удалось доказать много интересных утверждений, пока он не дошел до теоремы, показавшейся ему настолько странной, что он счел ее противоречащей ранее полученным результатам. Решив, что ему удалось тем самым доказать выводимость пятого постулата Евклида из девяти остальных аксиом, Саккери выпустил книгу под многозначительным названием «Евклид, избавленный от всяких пятен» ( Euclides ab omni naevo vindicatus, 1733). Однако впоследствии математики выяснили, что во втором случае Саккери в действительности не пришел к противоречию и что, следовательно, проблема параллельных по-прежнему остается открытой. Попытки найти подходящую замену евклидовой аксиоме о параллельных или доказать, что она следует из девяти остальных аксиом, были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 г. Д'Аламбер назвал проблему параллельных «скандалом в области оснований геометрии».

Постепенно математики начали приходить к правильному пониманию статуса аксиомы Евклида о параллельных. В своей докторской диссертации 1763 г. Георг С. Клюгель (1739-1812), впоследствии профессор университета в Хельмштадте, отлично осведомленный и о книге Саккери, и о многих других попытках «исправить» аксиому о параллельных, высказал весьма ценное соображение о том, что принятие большинством людей аксиомы Евклида о параллельных как истины, не подлежащей сомнению, основано на опыте. Так впервые была явно сформулирована идея о том, что весомость аксиом определяется их соответствием опыту, а не самоочевидностью. {46}Клюгель выразил сомнение в том, что пятый постулат Евклида можно вывести из остальных аксиом. Более того, Клюгель понял, что Саккери пришел не к противоречию, а лишь к результатам, поразившим его своей необычностью.

Диссертация Клюгеля привлекла внимание одного из крупнейших математиков XVIII в. — Иоганна Генриха Ламберта (1728-1777), и тот также принялся размышлять над проблемой параллельных. В своей книге «Теория параллельных прямых» (написанной в 1766 г. и опубликованной в 1786 г.) Ламберт, подобно Саккери, рассмотрел две альтернативные возможности. И он также обнаружил, что гипотеза, согласно которой через точку P вне прямой l (см. рис. 4.3) не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l , приводит к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что альтернативная гипотеза (согласно которой через точку P проходят по крайней мере две прямые, параллельные прямой l ) приводит к противоречию. Более того, Ламберт понял, что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает некую геометрию. Такая геометрия логически непротиворечива, хотя и не имеет прямого отношения к реальным, физическим фигурам. {47}

Работа Ламберта и некоторых других авторов, в частности учителя Гаусса, профессора Гёттингенского университета Абрахама Г. Кестнера (1719-1800), заслуживают особого упоминания. Эти ученые были убеждены, что пятый постулат Евклида невозможно доказать, исходя из девяти остальных его аксиом, т.е. утверждали, что аксиома о параллельных независима от остальных аксиом. Кроме того, Ламберт был убежден, что, приняв альтернативную аксиому, противоречащую аксиоме Евклида, можно построить логически непротиворечивую геометрию, хотя и не высказал каких-либо утверждений о применимости такой геометрии. Все трое — Клюгель, Ламберт и Кестнер — близко подошли к признанию возможности неевклидовой геометрии.

Самым выдающимся математиком среди тех, кто работал над решением проблемы, возникшей в связи с аксиомой Евклида о параллельных, был Гаусс. Он прекрасно знал о безуспешных попытках доказать или опровергнуть аксиому о параллельных, ибо такого рода сведения не составляли секрета для гёттингенских математиков. Историю проблемы параллельных досконально знал учитель Гаусса Кестнер. Много лет спустя (1831) Гаусс сообщил своему другу Шумахеру, что еще в 1792 г. (когда Гауссу было всего лишь 15 лет) он понял возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в которой постулат Евклида о параллельных не выполняется. Но вплоть до 1799 г. Гаусс не прекращал попыток вывести постулат Евклида о параллельных из других, более правдоподобных допущений и считал евклидову геометрию истинной геометрией физического пространства, хотя и сознавал возможность существования других логически непротиворечивых — неевклидовых — геометрий. Однако в письме Гаусса к другу и собрату по профессии Фаркашу Бойаи от 16 декабря 1799 г. мы читаем: