Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Слово «все» действительно многозначно. По мнению некоторых логиков и математиков, несколько семантических парадоксов обязаны своим происхождением употреблению слова «все». Так, в парадоксе Бурали-Форти речь идет о классе всех ординальных чисел. Включает ли этот класс ординальное число, соответствующее всему классу? Аналогичным образом гетерологический парадокс определяет некий класс слов. Включает ли этот класс само слово «гетерологический»?

Возражение Рассела — Пуанкаре против непредикативных определений стало общепринятым. К сожалению, такие определения использовались в классической математике. Наибольшие треволнения вызвало понятие наименьшей верхней границы. Рассмотрим множество всех чисел x, заключенных между 3 и 5, но не достигающих этих границ: 3 < x < 5. Верхними границами, т.е. числами, превосходящими все принадлежащие множеству числа, являются числа 5, 5 1/ 2, 6, 7, 8 и т.д. Среди них существует наименьшаяверхняя граница — число 5. Следовательно, наименьшая верхняя граница определена через класс верхних границ, содержащий ту самую границу, которая подлежит определению. Другой пример непредикативного определения — определение максимального значения (максимума) функции на заданном интервале. Максимальное значение — наибольшее из значений, принимаемых функцией на заданном интервале. Наименьшая верхняя граница, как и максимум функции, — фундаментальные понятия математики, и в математическом анализе избавиться от них нелегко. Кроме того, немало непредикативных определений используется и в других случаях.

Хотя непредикативные определения, встречающиеся в парадоксах, действительно приводят к противоречиям, чувство неудовлетворенности не оставляло математиков, так как, насколько они могли видеть, далеко не все непредикативные определения приводили к противоречиям. Такие высказывания, как «Джон — самый высокий игрок в своей команде» или «Это предложение — короткое», заведомо безобидны в этом отношении, хотя они и непредикативны. То же можно сказать и о предложении «Самое большое число в множестве чисел 1, 2, 3, 4, 5 равно 5». Непредикативные предложения используются буквально на каждом шагу. Так, задав класс всех классов, содержащих более пяти элементов, мы тем самым задаем класс, содержащий самого себя. Множество S всех множеств, определяемых не более чем 25 словами, также содержит S . Безусловно, обилие в математике непредикативных определений не могло не тревожить ученых.

К сожалению, мы не располагаем критерием, который позволил бы распознавать, приводит ли данное непредикативное определение к противоречию или не приводит. Следовательно, всегда существует опасность, что вновь обнаруженные непредикативные определения приведут к противоречиям. Эта проблема стояла очень остро с самого начала, когда Эрнст Цермело и Анри Пуанкаре впервые взялись за нее. Пуанкаре предложил наложить запрет на непредикативные определения. Один из выдающихся математиков первой половины XX в. Герман Вейль, сознавая, что некоторые непредикативные определения приводят к противоречиям, приложил немало усилий, пытаясь переформулировать определение наименьшей верхней границы таким образом, чтобы это позволило избежать непредикативности. Усилия Вейля не увенчались успехом. Обеспокоенный постигшей его неудачей, Вейль пришел к выводу, что математический анализ логически не обоснован и что некоторыми его разделами необходимо пожертвовать. Наложенный Расселом запрет («Мы не можем при определении множеств исходить из произвольных условий, а затем разрешать всем построенным множествам без разбора быть элементами других множеств») заведомо не давал ответа на вопрос, какие из непредикативных определений можно считать допустимыми.

Хотя первопричина возникших противоречий казалась вполне очевидной, проблема построения математики, свободной от противоречий, оставалась открытой. Более того, у математиков отнюдь не было уверенности в том, что в будущем не появятся новые противоречия. Все это позволяет понять, почему в начале XX в. проблема непротиворечивости стала весьма острой. Математики рассматривали эти противоречия как парадоксы теории множеств. Но именно теория множеств открыла математикам глаза на то, что противоречия возможны и в классических разделах математики.

На фоне непрекращающихся попыток подвести прочный фундамент под здание математики доказательство непротиворечивости перерастало в острейшую проблему. Но в начале XX в. математики поняли, что с точки зрения обоснования уже полученных результатов существуют и другие проблемы, не уступающие по своей значимости проблемам непротиворечивости. Критический дух математиков окреп и закалился в конце XIX в., и, вступив в двадцатое столетие, они подвергли безжалостному пересмотру все, что легко принимали на веру их предшественники. Им удалось обнаружить совершенно невинное на первый взгляд утверждение, которое ранее кочевало из доказательства в доказательство, не привлекая внимания. Утверждение это состояло в следующем: если имеется любой набор (конечный или бесконечный) множеств, то всегда можно, выбрав из каждого множества по одному элементу, составить из этих элементов новое множество. Так, от каждого штата из пятидесяти штатов США можно выбрать по одному жителю и составить из них группу из 50 человек.

То, что это утверждение в действительности составляет специальную аксиому — так называемую аксиому выбора, математики осознали из работы Эрнста Цермело (1871-1953), опубликованной в 1904 г. В этой связи весьма уместно обратиться к истории вопроса [56]. Когда Кантор задумал расположить трансфинитные числа по величине, ему понадобилась теорема о том, что любое множество вещественных чисел может быть вполне упорядочено. Всякое вполне упорядоченное множество прежде всего линейно упорядочено. Это означает, что если a и b — любые два (разные!) элемента множества, то, как и в множестве вещественных чисел или точек прямой, либо a предшествует b, либо b предшествует a . Кроме того, если a предшествует b и b предшествует c , то a предшествует c. Множество вполне упорядочено, если в любом его подмножестве, каким бы способом оно ни было выбрано, всегда существует первый элемент. Например, множество положительных целых чисел, расположенных в обычной последовательности, вполне упорядочено. Множество вещественных чисел, расположенных в обычной последовательности, линейно упорядочено, а не вполне упорядочено, так как в подмножестве, состоящем из всех чисел, которые больше нуля, нет первого элемента. В 1883 г. Кантор высказал предположение, что каждое множество можно вполне упорядочить, и этой гипотезой он пользовался, так и не сумев ее доказать. Напомним, что в своем докладе на II Международном математическом конгрессе 1900 г. Гильберт назвал среди прочих проблему доказательства полной упорядочиваемости множества вещественных чисел. В 1904 г. Цермело доказал, что каждое множество может быть вполне упорядочено (см., например, [54]), и в ходе доказательства особо отметил, что он использует аксиому выбора.