Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Как уже неоднократно случалось в прошлом, математики использовали аксиому выбора бессознательно и лишь гораздо позднее не только поняли, что применяют эту аксиому, но и докопались до причин, побудивших их ее принять. Кантор неявно использовал аксиому выбора в 1887 г. для доказательства теоремы о том, что любое бесконечное множество содержит подмножество с кардинальным числом N 0 . Кроме того, аксиома выбора неявно использовалась при доказательствах многих теорем топологии, теории меры, алгебры и функционального анализа. Например, аксиома выбора находит применение при доказательстве теоремы о том, что в любом ограниченном множестве чисел всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к предельной точке множества. Аксиома выбора используется также для доказательства фундаментальных утверждений, например при построении вещественных чисел из аксиом Пеано для целых чисел. Аксиома выбора применяется и при доказательстве теоремы о конечности множества всех подмножеств конечного множества. В 1923 г. Гильберт назвал аксиому выбора общим принципом, который необходим и неоценим как один из первых элементов теории математического вывода. Пеано первым обратил внимание на аксиому выбора. Еще в 1890 г. он писал, что нельзя бесконечно применять произвольное правило, позволяющее отбирать по одному элементу из каждого множества, сколько бы их ни было. Пеано сформулировал правило выбора для частного случая, т.е. для той задачи (интегрируемости дифференциальных уравнений), рассмотрением которой он занимался, и тем самым устранил возникшую трудность. То, что аксиома выбора действительно является аксиомой, понял в 1902 г. Беппо Леви, а Цермело узнал об этом от Эрхардта Шмидта в 1904 г.

Явное использование Цермело аксиомы выбора вызвало бурю протестов в следующем же номере (за 1904 г.) авторитетного журнала Mathematische Annalen. С критикой аксиомы выбора выступили Эмиль Борель (1871-1956) и Феликс Бернштейн (1878-1956). Вслед за их критическими выступлениями последовал обмен письмами между ведущими математиками того времени Эмилем Борелем, Рене Бэром (1874-1932), Анри Лебегом (1875-1941) и Жаком Адамаром (1865-1963); эти письма были опубликованы на страницах журнала Bulletin de la Société Mathématique de France за 1905 г.

Суть критики сводилась к тому, что если не указано правило, по которому из каждого множества выбирается по элементу, то реально выбор не производится и поэтому в действительности новое множество не образуется. В ходе доказательства выбор может изменяться, поэтому доказательство утрачивает силу. По выражению Бореля, выбор без правил представляет собой акт веры; поэтому аксиома выбора лежит за пределами математики. Поясним сказанное на примере, предложенном в 1905 г. Бертраном Расселом. Предположим, что у меня есть сто пар обуви и я из каждой пары выбираю левый ботинок. Правило, которым я руководствуюсь при выборе в этом случае, ни у кого не вызовет сомнений. Но предположим, что у меня имеется сто пар носков и из каждой пары я выбираю по одному носку. В этом случае невозможно указать, какой носок (правый или левый) был выбран из каждой пары, т.е. нельзя сформулировать правило, по которому был произведен выбор. Те, кто отстаивал аксиому выбора, признавали, что правила выбора может и не быть, но не считали его необходимым. По их мнению, акты выбора определены просто тем, что их считают определенными.

Против аксиомы выбора выдвигались и другие возражения. Так, Пуанкаре принимал аксиому выбора, но отвергал предложенное Цермело доказательство полной упорядоченности, поскольку в этом доказательстве используются непредикативные утверждения. Бэр и Борель возражали не только против аксиомы, но и против доказательства, так как из него не видно, как осуществляется полное упорядочение, — доказывается лишь, что оно осуществимо. Брауэр, со взглядами которого на основания математики мы познакомимся в дальнейшем (гл. X), возражал потому, что считал неприемлемыми актуально бесконечные множества. Возражение Рассела сводилось к тому, что множество естественно определять свойством, которым обладают все элементы этого множества, и только они. Так, например, множество людей, носящих зеленую шляпу, можно было бы определить свойством «носящие зеленую шляпу». Но аксиома выбора не требует, чтобы выбранные элементы обладали каким-нибудь определенным свойством. Она лишь утверждает, что каждый элемент выбран из одного из заданных множеств — по одному элементу на каждое множество. Сам Цермело довольствовался интуитивным понятием множества, и поэтому у него не вызывало сомнений, что при любом выборе из каждого множества по одному элементу образуется новое множество.

Единственным стойким защитником Цермело был Адамар. Он утверждал, что аксиома выбора приемлема по тем же причинам, какие он приводил, отстаивая теорию множеств Кантора. По мнению Адамара, для того чтобы утверждать существование объектов, отнюдь не требуется их описывать. Если одного утверждения о том, что объект существует, достаточно для прогресса математики, то это утверждение приемлемо.

В ответ на критические замечания Цермело дал второе доказательство полного упорядочения, также основанное на использовании аксиомы выбора (в действительности Цермело показал, что оба доказательства эквивалентны). Цермело отстаивал использование аксиомы выбора и утверждал, что до тех пор, пока эта аксиома не приводит к противоречию, ее использование в математике вполне допустимо. По словам Цермело, аксиома выбора «имеет исключительно объективный характер, который сразу же ясен». Он признал, что аксиома выбора не вполне самоочевидна, так как в ней говорится о выборе из бесконечно многих множеств, но она научно необходима, поскольку используется для доказательства важных теорем.

Было предложено много эквивалентных вариантов аксиомы выбора. Если аксиому выбора принять наряду с другими аксиомами теории множеств, то эти варианты представляют собой теоремы. Но все попытки заменить аксиому выбора менее спорной аксиомой оказались безуспешными. Маловероятно, что удастся найти удачную замену аксиомы выбора, приемлемую для всех математиков.

Споры вокруг аксиомы выбора по существу сводились к одной главной проблеме: как следует понимать существование в математике? Одни математики склонны считать «существующим» любое понятие, оказавшееся полезным, если оно не приводит к противоречиям, например обычную замкнутую поверхность, площадь которой бесконечна. Для других математиков «существование» означает четко распознаваемое определение или такое понятие, которое позволяет отождествить или по крайней мере описать его. Одной лишь возможности выбора недостаточно. В дальнейшем эти взаимоисключающие точки зрения стали еще более непримиримыми — мы поговорим о них в следующих главах. Пока же заметим только, что аксиома выбора стала яблоком раздора между математиками.