Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

В своей знаменитой работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль: если мы изучаем поверхности как независимые пространства, то соответствующие этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма причудливыми в зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность, имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая поверхность.

А как обстоит дело на сфере с «параллельными»? Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии . Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой геометрии.

Идеи Гаусса были хорошо знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента, дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете. Риман остановил свой выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».

Проведенное Риманом исследование геометрии физического пространства потребовало пересмотра всей проблемы, касающейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве? Какие условия, или факты, заложены в самом понятии пространства еще до того, как мы, опираясь на опыт , выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом пространстве? Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпирически. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические доказательства не свободны от влияния нашего чувственного опыта и в них возможны допущения, не входящие явно в число посылок.

Поиск априорного (предшествующего нашему знанию) пространства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной геометрии в отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.

Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типичными, или характерными, точками, координаты которых отличаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds . Он предположил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай n- мерного пространства) можно представить в виде

ds 2= g 11 dx 1 2+ g 12 dx 1 dx 2+ g 13 dx 1 dx 3 + g 21 dx 1 dx 2+ g 22 dx 2 2+ g 23 dx 2 dx 3+ g 31 dx 1 dx 3+ g 32 dx 2 dx 3+ g 33 dx 3 2,

где g ij— функции координат x 1, x 2 и x 3 ; g ij= g ji и правая часть положительна при всех значениях g ij . Выражение для ds представляет собой обобщение формулы Евклида

ds 2= dx 1 2+ dx 2 2+ dx 3 2,

которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариантов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов g ij от координат, Риман тем самым учитывал, что природа пространства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds 2 стандартными методами математического анализа можно извлечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.

В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. В частности, он сказал: «Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [которыми определяется метрика пространства] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме?» ([23], с. 322). Свойства физического пространства по Риману надлежало определять только опытным путем. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физическому пространству. Свою лекцию Риман закончил следующими пророческими словами:

Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное… Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его нам не дает повода сегодняшний день.

Здесь Риман высказал предположение, что природа физического пространства должна каким-то образом отражать происходящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).

Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854-1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со временем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действовать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.

Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:

Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действительно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.

Клиффорд высказал также предположение, что гравитационные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.