Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

Рассмотрим две системы отсчета, которые движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, и пусть какое-либо тело перемещается относительно обеих систем отсчета. Относительно первой системы отсчета тело описывает некую траекторию, по которой оно движется в соответствии с вполне определенным законом. Относительно второй системы отсчета тело описывает другую траекторию, и движение по ней подчиняется другому закону. Математически любую систему отсчета можно задать, введя систему координат. Допустим, что система отсчета K (рис. 36) неподвижна, а система отсчета K' движется относительно нее вправо с постоянной скоростью. Предполагается, что в каждой системе отсчета наблюдатели снабжены одинаковыми часами.

Рис. 36.

Пусть P — какая-то точка в пространстве; х', y' и z' — ее координаты относительно системы отсчета K '; x, y и z — координаты точки P относительно системы отсчета K (на рис. 36 точка P выбрана так, что z = z' = 0 ). Так как система отсчета K' движется вправо со скоростью v , координаты x и x' связаны между собой соотношением x = x' + vt . Оно позволяет пересчитывать абсциссу x' точки P относительно системы отсчета K' в абсциссу x' точки P относительно системы отсчета K . Кроме того, y = y' . Если оба наблюдателя измеряют промежутки времени по тщательно сверенным часам, то

t = t' .

В ньютоновской физике все законы механики остаются неизменными при таких преобразованиях, т. е. в координатах x, y, z, t закон выражается такой же зависимостью, как в координатах x', y', z', t' , если скорость второй системы относительно первой постоянна.

Системы отсчета K и K' называются галилеевыми, или инерциальными. Каждая из них движется относительно другой равномерно и прямолинейно. Ни одна система не ускоряется и не поворачивается относительно другой. Пользуясь терминологией самого Ньютона, можно было бы сказать, что галилеевы системы отсчета сохраняют состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения в абсолютном пространстве. Какая из двух систем покоится относительно абсолютного пространства, определить невозможно, поскольку, как мы видим, это никак не сказывается на законах преобразования. Кроме того, дифференциальные уравнения, справедливые в одной системе отсчета, выполняются и в другой. Что же касается законов классической механики, то они — и это следует подчеркнуть еще раз — одинаковы в обеих системах отсчета.

Обратимся теперь к уравнениям Максвелла. В конце XIX в. физики полагали, что в любой галилеевой системе отсчета дифференциальные уравнения в частных производных имеют одинаковый вид. Иначе говоря, считалось, что в теории электромагнитного поля все обстоит так же, как в механике Ньютона. Но, как выяснилось, подобная точка зрения приводит к противоречию. Чтобы получить в системе отсчета K законы, которые выполняются в системе отсчета K' , необходимо применить к последним формулы преобразования от системы отсчета K' к системе отсчета K . Проделав такую операцию с уравнениями Максвелла, мы обнаружим, что в них необходимо включить дополнительные члены, содержащие относительную скорость двух систем отсчета. Причина появления этих дополнительных членов проста: скорость не сохраняется при переходе от одной системы отсчета к другой (или, как говорят математики, скорость не инвариантна относительно такого перехода), а уравнения Максвелла содержат скорость света c . Например, рассмотрим два световых сигнала, из которых один распространяется вправо со скоростью c , а другой — влево со скоростью c . Наблюдатель, движущийся вправо со скоростью v , «догоняет» движущийся в том же направлении световой сигнал, а потому его скорость относительно этого сигнала равна c − v. С другой стороны, наблюдатель «убегает» от второго сигнала (движущегося влево), поэтому его скорость относительно второго сигнала равна c + v. Как видим, с точки зрения движущегося наблюдателя эти два световых сигнала распространяются с различной скоростью, поэтому и уравнения Максвелла для него не инвариантны. Для уравнений Максвелла существует лишь одна выделенная система отсчета: та, которая покоится относительно эфира.

Таким образом, преобразование уравнений Максвелла из одной системы отсчета в другую, движущуюся равномерно и прямолинейно относительно первой, показало, что эти уравнения ведут себя иначе, чем законы Ньютона в механике. В классической механике простое преобразование переводит одну систему отсчета в другую, но при том же преобразовании вид уравнений Максвелла изменяется.

Выход из создавшегося положения предложил выдающийся физик-теоретик Хендрик Антон Лоренц. Он поставил вопрос: что если сохранить инвариантность уравнений Максвелла и ввести надлежащие изменения в закон преобразования из одной системы отсчета в другую? Для простоты ограничимся случаем, когда изменение в законе преобразования касается только одной пространственной переменной и времени. Лоренц получил следующие формулы преобразования одной системы координат в другую, движущуюся относительно первой с постоянной скоростью v :

Эти формулы преобразования относятся к случаю, когда вторая система координат движется в том же направлении, что и первая, а именно в направлении оси x . Заметим, что в преобразовании Лоренца пространственная координата x и время t входят в соотношения вместе. Сами эти соотношения между x и x', t и t' здесь не столь просты, как в преобразовании Галилея. В частности, часы в двух системах координат, связанных преобразованием Лоренца, показывают различное время t и t' , т.е. t ≠ t'. Заметим также, что c — скорость света, равная 300 000 км/с. Обычные скорости v , с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, столь малы по сравнению со скоростью света, что при таких скоростях преобразование Лоренца практически сводится к преобразованию Галилея.

В 1905 г. на сцене физики появилась новая фигура — Альберт Эйнштейн (1879-1955). Эйнштейн явно питал большую склонность к физике, чем к математике. Хотя он в достаточной мере владел математикой и с годами существенно усовершенствовал математический аппарат своей теории, для него математика всегда оставалась не более чем полезным инструментом. Физике Эйнштейн придавал несравненно более важное значение. На него большое впечатление произвели работы по теории электромагнетизма и, в частности, исследования Генриха Герца. Хотя поистине революционные работы Эйнштейна по теории относительности и, как мы увидим в следующей главе, по квантовой механике, были выполнены уже в XX в., Эйнштейна можно считать последним из великих мыслителей XIX в., видевших в математике не более чем некое средство физического мышления. Истина для Эйнштейна лежала за пределами математики. Тем не менее развитая им теория относительности всецело покоилась на математике.