Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Заметим, что ряд, фигурирующий в этой задаче, — будем называть его «базельским рядом» — не слишком далек от гармонического ряда. Каждый член в нем, собственно говоря, равен квадрату соответствующего члена в гармоническом ряде. А возведение в квадрат числа, меньшего единицы, дает число еще меньшее: квадрат одной второй уменьшает ее до одной четвертой. И чем меньшее число возводится в квадрат, тем сильнее выражен этот эффект: одна четвертая лишь немного меньше одной второй, но квадрат одной десятой дает одну сотую, которая намного меньше, чем одна десятая.

Каждый член в базельском ряду, таким образом, меньше соответствующего члена в гармоническом ряду, и по мере продвижения вперед они делаются все меньше и меньше. Поскольку гармонический ряд лишь «едва-едва» расходится, вполне реальны надежды на то, что базельский ряд, составленный из меньших и даже много меньших величин, сойдется . Вычисление подсказывает, что на самом деле так и есть. Сумма первых десяти членов равна 1,5497677…, сумма ста членов составляет 1,6349839…, тысячи — 1,6439345…, а десяти тысяч — 1,6448340…. Действительно, впечатление такое, что ряд сходится к какому-то числу в окрестности 1,644 или 1,645. Но к какому?

В подобных ситуациях математиков не устраивает просто найти приближение, особенно когда рассматриваемый ряд сходится медленно, как в данном случае. (Сумма 10 000 членов все еще на 0,006 процента отличается от значения полной, бесконечной суммы, которая равна 1,6449340668….) Выражается ли ответ дробным числом, скажем, 9108/ 5537или 560 837 199/ 340 948 133? Или он имеет более сложный вид, может быть, в него входят корни, например, √ 46/ 17, или же корень пятой степени из 11 983/ 995, или же корень восемнадцатой степени из 7776 [36]? Чему равен ответ? Неспециалист решил бы, что вполне достаточно знать это число с точностью до нескольких знаков после запятой. Но нет, математики желают знать его точно, если только это возможно. Не просто потому, что они одержимы навязчивой идеей, но и потому, что по опыту знают: получение точного ответа нередко открывает ранее запертые двери и проливает свет на более глубокие математические вопросы. Математический профессиональный термин для такого точного представления — это «замкнутый вид». А десятичное приближение, неважно, насколько точное, — «незамкнутый вид». Число 1,6449340668… — это незамкнутый вид. Сами видите, что многоточие сообщает нам, что правая часть не завершена и при желании можно проделать вычисление, чтобы добавить туда еще цифры.

Базельская задача была поставлена так: найти замкнутый вид ряда из обратных квадратов. Задача была в конце концов побеждена в 1735 году, через 46 лет после своей постановки, и сделал это молодой Леонард Эйлер, трудившийся в далеком Санкт-Петербурге. Потрясающий ответ имеет вид π 2/6. Да, это «то самое» π , магическое число, равное 3,14159265…, — отношение длины окружности к ее диаметру. Что же оно делает в задаче, которая не имеет ни малейшего отношения не только к окружностям, но и вообще к геометрии?! Современных математиков это не так уж изумляет, они привыкли, что π можно встретить в математике где угодно, но в 1735 году этот ответ произвел сильное впечатление.

Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.

Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12 3— это 12×12×12, где перемножаются три сомножителя, а 12 5— это 12×12×12×12×12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12 3на 12 5? Это будет (12×12×12)×(12×12×12×12×12), что, конечно, составляет 12 8. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.

x m×x n = x m + n .

(Давайте я здесь прямо и скажу, что во всем этом разделе мы будем иметь дело только с положительными значениями буквы x . Возводить в степень нуль — пустая трата времени, а возведение в степень отрицательных чисел приводит к занятным проблемам, о которых мы поговорим позднее.)

Что будет, если разделить 12 5на 12 3? То есть вычислить (12×12×12×12×12)/(12×12×12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12×12, т.е. 12 2. Как видно, это все равно что вычесть степени.

x m: x n = x m − n .

А теперь возведем 12 5в куб: (12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12)×(12×12×12×12×12) дает 12 15. На этот раз степени перемножаются.

(x n) m= x mn .

Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?

Начав с последнего, заметим, что если x 0вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле n равным m. Тогда в правой части, как видно, получится x 0. А в левой части будет x m: x m. Но когда число делится само на себя, получается единица.

x 0= 1 для всякого положительного числа x .

2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12 3на 12 5. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12 − 2. Но при этом он равен и (12×12×12)/(12×12×12×12×12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12 2.

x −n= 1 /x n (в частности, x − 1= 1/ x ).

3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x 1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x . Значит, x 1/3есть просто кубический корень из x . (Определение «кубического корня из x »: это число, куб которого равен x ). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x 2/3— это кубический корень из x , возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x 2).

х m/n есть корень n- й степени из х m .

Поскольку 12 — это 3×4, получаем, что 12 5равно (3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4)×(3×4). Это можно переписать как (3×3×3×3×3)×(4×4×4×4×4). Короче говоря: 12 5= 3 5×4 5. Такое верно и в общем случае: