Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Рисунок 5.2.Логарифмическая функция.

Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).

Это следует из определения ln x и из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если a и b — любые два положительных числа, то a×b = e ln a ×e ln b . Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем a×b = e ln a + ln b . Однако a×b — само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем a×b = e ln (a×b) . Мы получили два различных выражения для a×b . Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.

ln (a×b) = ln a + ln b .

Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P = Q следует равенство ln P = ln Q ) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.

Из того, что ln (a×b) = ln a + ln b , следует, что ln (a×a×a×…) = ln a + ln a + ln a + … . И это дает последнее правило действий со степенями.

ln (a N) = N× ln a .

Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а, включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) = −ln a , поскольку 1/ а есть не что иное, как a −1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln 1/ 3= −1,09861228866…. Вот почему график функции ln x проваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как x делается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.

Как мы видим, ln x — медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln x возрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln x растет медленнее, чем любая степень буквы x . На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x », вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х 2или х 3, а степени типа х 0, 1.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций x a для малых значений a . Там выбраны a = 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a , тем более плоским делается график функции x a. А кроме того, для тех a , которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/ e , что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x , пересекает кривую x a до того, как уйти достаточно далеко на восток.

Рисунок 5.3.Функции x a при малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a , все равно график функции ln x рано или поздно окажется более плоским, чем график x a . Если а больше чем 1/ e , то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же a меньше чем 1/ e , то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x , мы увидим, как кривая ln x снова пересекает кривую x a , после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln x повторно пересекает кривую x 0,3чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x 0,1только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x 0,001только после прохождения точки x = 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции x в степени одна триллионная (т.е. x 0,000000000001), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x , — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e . И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x 0,000000000001. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln x старается быть функцией x 0. Конечно, это не x 0: для любого положительного числа выражение x 0определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln x и не есть x 0, она умудряется при достаточно больших x поднырнуть под функцию x ε со сколь угодно малым ε и оставаться там уже навсегда. [39]

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln x рано или поздно будет расти медленнее, чем x 0,001, и x 0,000001, и x 0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждение в некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x ) 100рано или поздно будет расти медленнее, чем x 0,1, и x 0,0001, и x 0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x , то это же верно и для любой степени функции ln x . Каждая из функций (ln x ) 2, (ln x ) 3, (ln x ) 4, …, (ln x ) 100, … растет медленнее, чем любая степень x . Независимо оттого, сколь велико N и сколь мало ε , график функции (ln x ) N в конце концов поднырнет под график функции x ε и останется там, внизу.